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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Lipschitzbedingung
Autor
Universität/Hochschule J Lipschitzbedingung
Oskar-G
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2022-12-04

Gegeben ist die DGL $y'(x)=(x+y)^2$ mit $x \in (-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ Ich möchte jetzt zeigen, dass eine Lösung existiert und diese auch eindeutig ist. Aus der VL ist bekannt das, wenn die Ableitung von $(x+y)^2$ nach y beschränkt ist dann erfüllt diese auch eine Lipschitzbedingung. mein Problem ist jetzt aber $2x+2y \leq \frac{2}{3} + 2y^2 \not \leq \infty$ im Allgemeinen es könnte doch sein das y die Gestalt $\frac{1}{x-\frac{1}{3}}$ hat oder eine ähnliche Eine weiter Idee wäre das man das Intervall ausschöpfen könnte also $(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}) = \bigcup\limits_{k=1}^\infty I_k$ mit $I_k \subseteq I_{k+1}, ~~ \overline{I_k} \subseteq (-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ Aber da weiß ich nicht ganz wie genau ich begründen soll, das damit alles funktioniert.

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mathilde01
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Mitteilungen: 62
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-04

Hallo, du könntest die Lösung explizit berechnen. Verwende dazu eine geeignete Substitution und Variation der Konstanten. VG

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Oskar-G
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04

Die DGL hab ich bereits gelöst, das war nicht schwer in der Aufgabe geht es vor allem um die Piccard-Itteration https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55520_des.PNG

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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-04

\quoteon(2022-12-04 19:43 - mathilde01 in Beitrag No. 1) Verwende dazu ... Variation der Konstanten. \quoteoff Hi mathilde01, das geht nicht, denn es liegt keine inhomogene lineare Differentialgleichung vor. Richtig ist Trennung der Variablen. Gruß Buri [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

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