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Analysis » Integration » Gerade durch Graph, so dass Flächen ober-/unterhalb gleich groß sind?
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Kein bestimmter Bereich J Gerade durch Graph, so dass Flächen ober-/unterhalb gleich groß sind?
Rakl
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  Themenstart: 2022-12-05

Hallo, kann man für jeden Graph (Funktion, Messwerte, Zufallswerte etc., aber eindeutige Zuordnung y zu x) eine Gerade finden, mit der die Flächen zwischen Graph und Gerade ober- und unterhalb gleich groß sind? Vermutung meinerseits: Am nächsten kommt wohl eine lineare Regressionsgerade heran. Aber laut Definition soll die Summe der quadrierten Abstände von dieser Geraden minimal sein; "minimal" scheint direkt darauf hinzudeuten, dass eine Null nicht immer erreicht werden kann. Liege ich richtig? Cheers.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Was meinst du mit: \quoteon(2022-12-05 13:35 - Rakl im Themenstart) ...mit der die Flächen zwischen Graph und Gerade ober- und unterhalb gleich groß sind? \quoteoff ? Ist das so zu verstehen, dass Funktion \(f\) und Gerade \(g\) auf einem Intervall \([a,b]\) die Forderung \[\int_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ \dd x}=0\] erfüllen sollen? Natürlich geht das für jede auf diesem Intervall integrierbare Funktion, man muss nur eine Gerade so wählen, dass ihr Integral über diesem Intervall den gleichen Wert besitzt wie das Integral der Funktion über diesem Intervall. Dabei gibt es nicht die eine Gerade, die das erfüllt, sondern unendlich viele. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Rakl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-05

\quoteon(2022-12-05 15:20 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo und willkommen hier im Forum! Was meinst du mit: \quoteon(2022-12-05 13:35 - Rakl im Themenstart) ...mit der die Flächen zwischen Graph und Gerade ober- und unterhalb gleich groß sind? \quoteoff ? Ist das so zu verstehen, dass Funktion \(f\) und Gerade \(g\) auf einem Intervall \([a,b]\) die Forderung \[\int_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ \dd x}=0\] erfüllen sollen? Natürlich geht das für jede auf diesem Intervall integrierbare Funktion, man muss nur eine Gerade so wählen, dass ihr Integral über diesem Intervall den gleichen Wert besitzt wie das Integral der Funktion über diesem Intervall. Dabei gibt es nicht die eine Gerade, die das erfüllt, sondern unendlich viele. Gruß, Diophant \quoteoff Hallo Diophant, danke für die schnelle Rückmeldung! Ich spreche nicht gut genug 'Mathematisch', aber ich vermute, Deine Formel oben ist korrekt. Als Beispiel habe ich mal ein Bild angehängt. Es geht darum, dass die von der Gerade und der Funktion umschlossenen Flächeninhalte in einem bestimmten Intervall in Summe Null ergeben sollen, wobei die oberhalb der geraden liegenden Flächen positiv und die unteren negativ anzusetzen sind. Gibt es da tatsächlich unendlich viele Geraden, auch wenn ein Intervall festgelegt ist...? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/56023_Screenshot_2022-12-05_171332.gif Grüße Rakl


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-12-05 17:16 - Rakl in Beitrag No. 2) Gibt es da tatsächlich unendlich viele Geraden, auch wenn ein Intervall festgelegt ist...? \quoteoff Ja. Nehmen wir einmal o.B.d.A.* eine auf einem nichtleeren Intervall \([a,b]\) strikt positive Funktion an. Diese Funktion schließt auf diesem Intervall mit der x-Achse sicherlich eine von Null verschiedene Fläche ein und ihr Integral über diesem Intervall muss ebenfalls positiv sein (und entspricht ja dieser Fläche). Jetzt haben wir also einen vorgegeben Flächeninhalt \(A\) und suchen eine Gerade der Form \(y=m\cdot x+c\), für die \[\int_a^b{(m\cdot x+b)\ \dd x}=\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] gilt. Der Verlauf dieser Geraden hängt noch von zwei Parametern \(m\) und \(c\) ab, die man einfach zueinander passend wählen muss. Und da gibt es jeweils unendlich viele mögliche Paare \((m,c)\) - und damit eben auch unendlich viele solcher Geraden. *o.B.d.A. steht für: ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Rakl
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-05

\quoteon(2022-12-05 17:32 - Diophant in Beitrag No. 3) Hallo, \quoteon(2022-12-05 17:16 - Rakl in Beitrag No. 2) Gibt es da tatsächlich unendlich viele Geraden, auch wenn ein Intervall festgelegt ist...? \quoteoff Ja. Nehmen wir einmal o.B.d.A.* eine auf einem nichtleeren Intervall \([a,b]\) strikt positive Funktion an. Diese Funktion schließt auf diesem Intervall mit der x-Achse sicherlich eine von Null verschiedene Fläche ein und ihr Integral über diesem Intervall muss ebenfalls positiv sein (und entspricht ja dieser Fläche). Jetzt haben wir also einen vorgegeben Flächeninhalt \(A\) und suchen eine Gerade der Form \(y=m\cdot x+c\), für die \[\int_a^b{(m\cdot x+b)\ \dd x}=\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] gilt. Der Verlauf dieser Geraden hängt noch von zwei Parametern \(m\) und \(c\) ab, die man einfach zueinander passend wählen muss. Und da gibt es jeweils unendlich viele mögliche Paare \((m,c)\) - und damit eben auch unendlich viele solcher Geraden. o.B.d.A. steht für: ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Gruß, Diophant \quoteoff Servus, ich glaube, ich verstehe, vielen Dank! Wie sähe es aus, wenn die Steigung der Geraden festgelegt wäre? Wenn man zum Beispiel die Steigung einer Regressionsgeraden näme, die naturgemäß schon mal mitten durch die Funktion liefe? Vorausgesetzt, die einzige Variable wäre dann c: Wie könnte man die berechnen? Beste Grüße.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn du die Steigung vorgibst, dann gibt es natürlich nur noch eine Möglichkeit: in der Gleichung \[\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] wäre der Achsenabschnitt \(c\) deiner Geraden ja dann die einzige Variable. Da diese linear vorkommt, wird es für \(b\neq a\) stets genau eine Lösung geben. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Rakl
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

\quoteon(2022-12-05 18:11 - Diophant in Beitrag No. 5) Hallo, wenn du die Steigung vorgibst, dann gibt es natürlich nur noch eine Möglichkeit: in der Gleichung \[\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] wäre der Achsenabschnitt \(c\) deiner Geraden ja dann die einzige Variable. Da diese linear vorkommt, wird es für \(b\neq a\) stets genau eine Lösung geben. Gruß, Diophant \quoteoff Super, vielen Dank, Diophant! 👌


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Rakl
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-14

Hallo Diophant, ich hab nun mein Schulmathe etwas entstaubt, ein paar Rädchen geölt und Deine Lösung nachvollzogen. Das Ergebnis ist allerdings nicht das gesuchte. Die Aufgabe war ja, dass die von einer Funktion (hier: einem Datensatz) und einer zu bestimmenden Geraden umschlossenen Flächen in einem bestimmten Intervall in Summe Null sein sollen, wobei die Flächen oberhalb der Geraden positiv und die unterhalb negativ anzusetzen sind. Die Steigung m der Geraden sei gegeben, der Achsenabschnitt c zu bestimmen. Auch wenn es logisch erscheint: Dies \[\int_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ \dd x}=0\] mit diesem \[\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] (nach c aufgelöst) führt anscheinend nicht zur Lösung. Die Flächen ober- und unterhalb der so bestimmten Geraden sind nicht gleich groß, wie es der Forderung entspricht. Da es sich bei f(x) um einen Datensatz handelt (y-Werte sämtlich positiv), lässt sich dessen Integral (und damit die Fläche A) durch Addieren aller y-Werte einfach bestimmen. Wenn \[d=(b-a)\] dann ergibt sich \[c=\frac{(A-\frac{m}{2}\cdot d^2)}{d}\] Wie schon erwähnt: Die damit bestimmte Gerade erfüllt die Anforderungen nicht. Wenn Du magst, kannst Du Dir gerne die hier (Google drive) hinterlegte xlsx-Datei anschauen :-) Könnte es sein, dass sich der Fehler aus der Tatsache ergibt, dass es sich nicht um eine stetige Funktion, sondern um diskrete Einzelwerte handelt...? Beste Grüße Rakl \quoteon(2022-12-05 17:47 - Rakl in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-12-05 17:32 - Diophant in Beitrag No. 3) Hallo, \quoteon(2022-12-05 17:16 - Rakl in Beitrag No. 2) Gibt es da tatsächlich unendlich viele Geraden, auch wenn ein Intervall festgelegt ist...? \quoteoff Ja. Nehmen wir einmal o.B.d.A.* eine auf einem nichtleeren Intervall \([a,b]\) strikt positive Funktion an. Diese Funktion schließt auf diesem Intervall mit der x-Achse sicherlich eine von Null verschiedene Fläche ein und ihr Integral über diesem Intervall muss ebenfalls positiv sein (und entspricht ja dieser Fläche). Jetzt haben wir also einen vorgegeben Flächeninhalt \(A\) und suchen eine Gerade der Form \(y=m\cdot x+c\), für die \[\int_a^b{(m\cdot x+b)\ \dd x}=\frac{m}{2}\cdot(b-a)^2+c\cdot(b-a)=A\] gilt. Der Verlauf dieser Geraden hängt noch von zwei Parametern \(m\) und \(c\) ab, die man einfach zueinander passend wählen muss. Und da gibt es jeweils unendlich viele mögliche Paare \((m,c)\) - und damit eben auch unendlich viele solcher Geraden. o.B.d.A. steht für: ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Gruß, Diophant \quoteoff Servus, ich glaube, ich verstehe, vielen Dank! Wie sähe es aus, wenn die Steigung der Geraden festgelegt wäre? Wenn man zum Beispiel die Steigung einer Regressionsgeraden näme, die naturgemäß schon mal mitten durch die Funktion liefe? Vorausgesetzt, die einzige Variable wäre dann c: Wie könnte man die berechnen? Beste Grüße. \quoteoff


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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10261
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-12-14 14:58 - Rakl in Beitrag No. 7) Könnte es sein, dass sich der Fehler aus der Tatsache ergibt, dass es sich nicht um eine stetige Funktion, sondern um diskrete Einzelwerte handelt...? \quoteoff Das könnte schon sein. Für den Fall müsstest du erst einmal definieren, was du hier unter "Fläche" verstehen möchtest. So wie die Frage gestellt war (siehe Skizze in #2), ging es um eine stetige Funktion, deren Schaubild durch alle vorliegenden Datenpunkte geht. Und dann stimmt meine Überlegung (du müsstest dir dann eventuell nochmal klar machen, was in #5 mit \(A\) bezeichnet wird). Für diskrete Datenpunkte halte ich die Überlegung mit der Fläche für sinnlos. Eine Regressionsgerade minimiert einfach die Summe der quadratischen Fehler, völlig unanschaulich und humorlos. 😉 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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