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  Erwartungswerte und Varianzen |
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Sekorita
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Mitteilungen: 479
 |  Themenstart: 2022-12-05
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Guten Tag zusammen :)
nachdem meine Uni immer noch von einem Hacker Angriff betroffen ist und die Vorlesungen zum Großteil ausfielen, müssen wir uns das Arbeitsblatt nun nur mit dem Skript erarbeiten.
Anbei mein Versuch zu Aufgabe 1:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_11.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Def11_Neu.JPG
Ich soll ja zunächst zeigen, dass der bedingte Erwartungswert überhaupt existiert, also muss ich zeige, dass er hier wphldefiniert ist, nach folgender Definition:
Dieser muss also wohldefiniert sein, da per Vorraussetzung P(Y\el\ B) > 0 ist und aus E[abs(X)] < \inf folgt, dass X einen endlichen Erwartungswert hat.
Folglich muss auch sum(abs(X(\omega): P({\omega}\parallel\ Y\epsilon \el\ B)),\omega\el\ \Omega,)) < \inf sein und somit der EW existieren.
E[X \parallel\ Y \el\ B] =
sum(X(\omega)*P({\omega}\parallel\ Y \epsilon B),w \epsilon \Omega,)
Da nun aber X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sind, sind auch die zugehörigen Mengensysteme unabhängig. Und es müsste doch dann auch direkt daraus folgen, dass die Zufallsvariable keinen Einfluss auf irgendwelche Realisierungen von X hat und somit auch nicht auf den EW. Diese Parallelstreifen sind übrigens mein Ersatz für einen geraden Strich.
Eine andere Herangehensweise wäre vielleicht noch.
Da X und Y unabhängig -> Kovarianz Cov(X,Y) = 0 -> Korrelation Cor(X,Y) = 0 Also sind X und Y unkorelliert, womit das Eintreten von Y auch keinen Einfluss auf den Erwartungswert von X nehmen kann. Hier wäre ich für etwas Formalisierungshilfe dankbar.
bei b) blicke ich gerade noch nicht so durch.... ich kann wieder rauslesen, dass X einen endlichen EW haben muss. und analog zu a bzw. mit a) dürfte auch folgen, dass der EW von X gegeben Z wohldefiniert ist. Muss ich dann hier noch die Unabhängigkeit von X und Z zeigen? Aus dem Skript habe ich noch die Folgerung aus dem Transformationssatz herausgesucht.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Def11.1.JPG
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