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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert einer Funktion zweier Veränderlicher
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Universität/Hochschule Grenzwert einer Funktion zweier Veränderlicher
CauchyProdukt
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  Themenstart: 2022-12-05

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Hallo, kann mir jemand bei folgenden Grenzwerten helfen \[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^4y + 4x^2 y^3 - y^5}{(x^2 + y^2)^2} = 0\] bzw. \[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3 y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = 0?\] Beim zweiten Grenzwert gilt ja zum Beispiel für $x = y$ \[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3 y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^5 - 4x^5 - x^5}{(2x^2)^2} = \lim_{x \to 0} -x = 0\] Oder für $y = 0$ \[ \lim_{(x, 0) \to (0, 0)} \frac{x^5 - 0 - 0}{(x^2 + 0)^2} = \lim_{(x, 0) \to (0,0)} x = 0 \] bzw. für $x = 0$ \[ \lim_{(0, y) \to (0, 0)} \frac{0}{(0 + y^2)^2} = 0. \] Aber wie kann ich das nun allgemein zeigen? Vielen Dank im voraus\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-05

Huhu CauchyProdukt, spricht etwas gegen Polarkoordinaten? Gruß, Küstenkind


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Wauzi
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-05

Hallo, alternativ: - im Zähler geeignet ausklammern - Zähler=Quadrat+Rest - Kürzen -> 1+Rest/Nenner - Zweiten Summand nach oben abschätzen Der zweite Grenzwert ist nur eine andere Schreibweise des ersten Gruß Wauzi


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CauchyProdukt
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Danke für die Antworten Also wäre das hier \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^2 + y^2)^2}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{(x,y) \to (0, 0)} x = 0 \] zum Beispiel okay?\(\endgroup\)


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Wauzi
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-06

Nicht ganz. Statt der 2 muß nach dem "<" eine 4 stehen und Betragsstriche sollten auch verwendet werden


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CauchyProdukt
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Achso okay \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x| (x^4 + 4x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \] Aber wie lässt sich denn hier wieder die binomische Formel anwenden?\(\endgroup\)


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ochen
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-06

Hi:) \quoteon(2022-12-06 08:57 - CauchyProdukt in Beitrag No. 5) Achso okay \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x| (x^4 + 4x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \] Aber wie lässt sich denn hier wieder die binomische Formel anwenden? \quoteoff Zunächst einmal würde ich den Limes weglassen, denn du weißt ja gar nicht, ob er existiert. Wenn du $|x|$ ausgeklammert hast, muss der Rest nur gegen eine Konstante abgeschätzt werden. Es gilt \[ \left|\frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} \right| =|x|\cdot \left|\frac{x^4 - 4x^2y^2 - y^4}{(x^2 + y^2)^2}\right|\leq |x|\cdot \frac{x^4 + 4x^2y^2 + y^4}{(x^2 + y^2)^2} = |x|\cdot \left(1+\frac{2x^2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \right)\leq 2|x| \]


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