| |
| Autor |
  Körperabbildungen |
|
TryingToUnderstand
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2022-12-07
|
Hallöchen an die Mathematiker,
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir bei der a) nicht sicher bin, ob ich sie richtig gelöst habe und bei der ich bei der b) um Hilfe bitten möchte. Sie geht wie folgt:
Sei K ein Körper und n ∈ N0. Definieren [latex]V_{n} := Abb(\{0, 1, . . . , n\}, K)[/latex] (Vn ist ein K-Vektorraum mit der Nullabbildung als neutralem Element). Für j ∈ N schreiben wir im Folgenden [latex] j_{K} [/latex] für die j-fache Summe [latex]1_{K} + . . . + 1_{K}[/latex] des Einselements von K.
(a) Betrachten Sie die Abbildung ∂ : Vn+1 → Vn, wobei für f ∈ Vn+1 die Abbildung ∂(f) gegeben ist durch
[latex]\{0, 1, . . . , n\} → K, i \mapsto (i + 1)_{K} · f(i + 1)[/latex]
Zeigen Sie, dass ∂ eine K-lineare Abbildung ist.
(b) Es habe K nun die Eigenschaft, dass [latex]i_{K} \neq 0_{K} [/latex] für alle i ≤ n + 1. Berechnen Sie Kern(∂)
Zu meinen Ansätzen:
a): Damit K-Linear, muss gelten: [latex] a*\partial(x) = \partial(a*x) | \partial(x+y) = \partial(x) + \partial(y) [/latex]
1. Sei [latex] x \in V_{n+1} \Rightarrow a\partial(x) = a*((i+1)_{K} * x(i+1)) = (a*(i+1)_{K}) * x(i+1) = (a*x)*(i+1)_{K}*(i+1) = \partial(a*x)[/latex]
2. Seien [latex] x,y \in V_{n+1} \Rightarrow \partial(x) + \partial(y) = ((i+1)_{K} * x(i+1))+((i+1)_{K} * y(i+1)) = (x+y)(i+1)_{K} * (i+1) = \partial(x+y)[/latex]
b) wie gesagt bräuchte ich hier ein wenig Hilfe :D
Ich bedanke mich wie immer für alle Hilfestellungen
|
 Profil
|
WinstonYT
Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-07
|
Für die Aufgabe a) haben Sie die K-Lineare Eigenschaft von ∂ richtig gezeigt. Für die Aufgabe b) können Sie wie folgt vorgehen:
Zunächst ist zu beachten, dass der Kern einer Abbildung die Menge aller Elemente in Vn+1 ist, die auf das neutrale Element von Vn abgebildet werden. D.h., dass f ∈ Kern(∂) genau dann, wenn ∂(f) = 0K.
Um zu zeigen, dass ein Element f ∈ Vn+1 im Kern von ∂ liegt, müssen wir also zeigen, dass ∂(f) = 0K. Für jedes i ∈ {0,1,...,n} gilt:
∂(f)(i) = (i+1)K * f(i+1)
Da nach der gegebenen Eigenschaft von K für alle i ≤ n+1 gilt: iK ≠ 0K, folgt, dass wenn für ein i ∈ {0,1,...,n} gilt: f(i+1) = 0K, dann gilt auch ∂(f)(i) = 0K.
Insbesondere gilt dies für i = n, da für jedes Element f ∈ Vn+1 immer f(n+1) = 0K gilt. Damit folgt, dass ∂(f) = 0K und somit f ∈ Kern(∂).
Damit haben wir gezeigt, dass für jedes Element f ∈ Vn+1 gilt: f ∈ Kern(∂). Damit ist Kern(∂) = Vn+1.
|
Profil
|
TryingToUnderstand
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-07
|
Hallo Winston,
Ich möchte mich bei ihnen bedanken für ihre schnelle und vor allem ausführliche Antwort und ihr Feedback für die Aufgabe a). Sie haben mir damit ermöglicht, meine Aufgabe guten Gewissens abzugeben
|
Profil
|
TryingToUnderstand hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TryingToUnderstand hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | TryingToUnderstand wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
