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| Autor |
 Existenz einer Menge |
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ATuring
Junior 
Dabei seit: 31.05.2021
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2022-12-09
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Hallo an alle hier!
Ich hätte eine Frage passend zum Gebiet der Maßtheorie, genauer gesagt geht es um die Existenz einer Menge \(A\), die mutmaßlich folgende Eigenschaften erfüllen soll:
1) \(A\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)
2) \(A\) soll dicht in \(\mathbb{R}\) liegen
3) \(\lambda(A)\) = 0
wobei \(\lambda\) wahrscheinlich das allseits bekannte Lebesgue-Maß sein soll (auch wenn es in der Aufgabenstellung als solches nicht benannt wurde).
Problematisch für mich ist dieses Dichte-Kriterium. Die einzigen, dichten Teilmengen aus \(\mathbb{R}\), die ich aus dem Stand heraus benennen würde, sind \(\mathbb{Q}\), (\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)) und Mengen \(B \subseteq \mathbb{R}\), wobei für \(B\) entweder \(\mathbb{Q} \subseteq B\) oder \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subseteq B\) gelten soll (also die Dichtheit von \(\mathbb{Q}\) oder \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) "überträgt" sich quasi auf \(B\)).
Für mich ergibt sich nun folgendes: \(A\) kann nicht gleich \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) sein, da ansonsten das Maß unendlich wäre. Daher kann \(A\) auch keine Menge der obigen Form \(B\) sein, welches \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) enthält (da dessen Maß erst recht unendlich wäre).
Daraus folgt für mich nun, dass \(A\) entweder gleich \(\mathbb{Q}\) oder gleich \(B \subseteq \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{Q}\subseteq B\) sein muss. Beide Möglichkeiten "beißen" sich aber mit dem Kriterium, dass \(A\) nur irrationale Zahlen enthalten soll. Daher existiert solch eine Menge \(A\) aus meiner jetzigen (naiven) Sicht nicht.
Das alles aber immer unter der Voraussetzung, dass meine Überlegungen zur Dichtheit aller rationalen bzw. aller irrationalen Zahlen in \(\mathbb{R}\) stimmen. Gäbe es also eine dichte Menge in \(\mathbb{R}\), die weder ganz \(\mathbb{Q}\), noch ganz \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) enthalten "muss", dann wäre das Argument ja hinfällig. Oder aber, es gibt so eine dichte Teilmenge, aber deren Maß wäre dann ungleich Null?
Ich hoffe, da kann mir vielleicht jemand dankenswerterweise weiterhelfen?
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 Profil
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3261
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-09
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Ohne mich mit der Materie auszukennen:
Was spricht dagegen, mit $\mathbb{Q}$ eine "irrationale Translation" durchzuführen?
Also bspw. sowas wie $A_r = \{q + r~|~q \in \mathbb{Q}\}$ mit $r \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ anzusetzen.
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| ATuring hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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