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  Die 2 kovarianten Ableitungen |
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Cyborg
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 |  Themenstart: 2022-12-13
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Hallo, Leute!
Es gilt:
$$\dfrac{\nabla}{dt}(X\circ c)(t)=pr_{c(t)}\left(\dfrac{d}{dt}(X\circ c)(t)\right)=pr_{c(t)}\left(DX_{c(t)}\dot{c}(t)\right)=pr_{c(t)}\left(D_{\dot{c}(t)}X(c(t))\right)=\nabla_{\dot{c}(t)}X(c(t))$$
In der Literatur finde ich manchmal $\nabla_{\dot{c}}\dot{c}$.
FRAGE: Wie soll man dann die Richtungsableitung von $X=\dot{c}$ in Richtung $\dot{c}$ bilden?? Das geht doch gar nicht, weil $\dot{c}$ doch nur von $t$ abhängt, also ist $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dot{c}(t+h\cdot\dot{c})-\dot{c}(t)}{h}$ Blödsinn?
Wie löst man diesen Widerspruch auf???
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-13
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Hallo,
schon dein Ausdruck für die "Richtungsableitung" ist Unsinn. $\dot c(t_1)$ und $\dot c(t_2)$ leben für $t_1\neq t_2$ in der Regel in ganz verschiedenen Tangentialräumen. Wie soll man denn die Differenz bilden?
Das ist genau der Grund, weshalb man einen Paralleltransport bzw. eine kovariante Ableitung bzw. einen Zusammenhang braucht. $\dot c$ ist ein Vektorfeld, das auf der Kurve $c$ definiert ist. Dabei ist $\dot c(t)$ jeweils ein Vektor im Tangentialraum am Punkt $c(t)$. (Also nicht nur irgendein Vektor, sondern eben der Tangentialvektor der Kurve am jeweiligen Punkt).
Formal muss man aber eigentlich zunächst das Vektorfeld $\dot c$ glatt (oder eben entsprechend der Regularität) auf eine offene Teilmenge der Mannigfaltigkeit fortsetzen, bevor man mit der kovarianten Ableitung kommen kann. Das Resultat $\nabla_{\dot c}\dot c$ ist aber unabhängig von der Fortsetzung und hängt nur von den Werten von $\dot c$ entlang der Kurve $c$ ab.
Edit: Man setzt also $\dot c$ zu einem glatten Vektorfeld $X$ auf einer offenen Teilmenge der Mannigfaltigkeit fort und definiert dann
$$
(\nabla_{\dot c}\dot c)_{c(t)}:=(\nabla_{X}X)_{c(t)}
$$
für jedes $t$ im Parameterbereich der Kurve $c$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Hallo, nzimme10!
\quoteon(2022-12-13 17:11 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Formal muss man aber eigentlich zunächst das Vektorfeld $\dot c$ glatt (oder eben entsprechend der Regularität) auf eine offene Teilmenge der Mannigfaltigkeit fortsetzen, bevor man mit der kovarianten Ableitung kommen kann. Das Resultat $\nabla_{\dot c}\dot c$ ist aber unabhängig von der Fortsetzung und hängt nur von den Werten von $\dot c$ entlang der Kurve $c$ ab.
\quoteoff
Wo finde ich einen Beweis dafür, dass man $\dot{c}$ auf der Mannigfaltigkeit fortsetzt, aber davon unabhängig ist, also nur von den Werten von $\dot{c}$ entlang der Kurve $c$ abhängt???
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Cyborg
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Hallo, nzimme10!
Ein Beitrag von dir ist auf einmal verschwunden!
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-13
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Hallo,
ich habe meine letzte Antwort gelöscht, weil ich es in diesem Kontext gerne anders erklären will. Eigentlich kann man das einfach nachrechnen.
Setzt man $\dot c$ wie angemerkt durch ein glattes Vektorfeld $X$ fort und schreibt $X=X^k\partial_k$ in lokalen Koordinaten, so erhält man
$$
\nabla_X X=\left(X^iX^j \Gamma^k_{ij} +X(X^k)\right)\partial_k.
$$
Für $\nabla_{\dot c}\dot c$ muss man $\nabla_X X$ nur in den Punkten $c(t)$ auswerten. Jetzt kannst du mal selbst nachprüfen, dass $\nabla_X X$ ausgewertet in den Punkten $c(t)$ nur von den Werten von $X$ in $c(t)$ abhängt. Der einzige Term, bei dem das nicht direkt klar ist, ist ja $X(X^k)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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In Tensorrechnung bin ich noch auf wackeligen Beinen.
Also ich kann ja $\nabla_X X$ auf den Punkten $c(t)$ auswerten, aber wie genau zeige ich, dass $\nabla_X X$ nur von $c(t)$ abhängig ist?
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Cyborg
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Also ich kriege es nicht gebacken!
Kannst du mir das mal ausführen.
Würde mich sehr freuen.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-13
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\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ausgewertet steht da zunächst mal
$$
(\nabla_X X)_{c(t)}=\left(X^i(c(t))X^j(c(t)) \Gamma^k_{ij}(c(t)) +X(X^k)(c(t))\right)(\partial_k)_{c(t)}.
$$
Die Ausdrücke $X^j(c(t))$ hängen offensichtlich nur von den Werten von $X$ in $c(t)$ ab. Die Ausdrücke $\Gamma^k_{ij}(c(t))$ haben mit $X$ gar nichts zu tun. Man muss also nur noch schauen, wie das bei $X(X^k)(c(t))$ aussieht.
Dazu schreibt man zunächst mal einfach hin, was dieser Ausdruck gemäß seiner Definition bedeutet. $X^k$ ist eine glatte Funktion und $X$ ist ein Vektorfeld. $X(X^k)$ ist somit eine glatte Funktion und wir wollen den Wert dieser Funktion am Punkt $c(t)$ berechnen und uns davon überzeugen, dass er nur von den Werten von $X$ entlang $c$ abhängig ist. (Hier würde nun mein gelöschter Beitrag ins Spiel kommen...😐 egal😁).
Schreiben wir einfach mal die Definition aus
$$
X(X^k)(c(t))=X_{c(t)}(X^k).
$$
Nun können wir verwenden, dass $X_{c(t)}=\dot c(t)$ gilt und erhalten
$$
X_{c(t)}(X^k)=\dot c(t)(X^k)=(X^k\circ c)'(t).
$$
Du solltest nun selbst in der Lage sein zu zeigen, dass das im Endeffekt
$$
X_{c(t)}(X^k)=(x^k\circ c)''(t)
$$
liefert (wo $x=(x^1,\dots,x^n)$ die Kartenabbildung ist) und somit zeigt, dass wir nur $\dot c$ kennen müssen um $X_{c(t)}(X^k)$ zu berechnen.
Bezeichnet man die Komponenten der Kurve $c$ bezüglich der gewählten Karte mit $c^j:=x^j\circ c$, dann erhält man durch diese Betrachtungen auch
$$
\nabla_{\dot c}\dot c=\left(\frac{\d^2 c^k}{\d t^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{\d c^i}{\d t}\frac{\d c^j}{\d t}\right)\partial_k
$$
beziehungsweise
$$
(\nabla_{\dot c}\dot c)^k=\frac{\d^2 c^k}{\d t^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{\d c^i}{\d t}\frac{\d c^j}{\d t}.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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Hallo, nzimme10!
Ich habe mir das folgendermaßen klargemacht:
$$\dfrac{\nabla}{dt}\gamma'(t)=pr_{\gamma(t)}\left(\dfrac{d}{dt}\gamma'(t)\right)=pr_{\gamma(t)}(\gamma''(t))$$
Sei $\tilde{\gamma}$ mit $\tilde{\gamma}(\gamma(t))=\gamma'(t)$, dann:
$$\nabla_{\gamma'}\gamma':=\nabla_{\gamma'(t)}\tilde{\gamma}=pr_{\gamma(t)}(D_{\gamma'(t)}\tilde{\gamma})=
pr_{\gamma(t)}(D\tilde{\gamma}(\gamma'(t)))=
pr_{\gamma(t)}\left(\dfrac{d}{dt}\tilde{\gamma}(\gamma(t))\right)=
pr_{\gamma(t)}\left(\dfrac{d}{dt}\gamma'(t)\right)$$
Damit ist auch gezeigt, dass $\nabla_{\gamma'(t)}\tilde{\gamma}$ nicht von der Fortsetzung $\tilde{\gamma}$ abhängt, sondern nur von $\gamma(t)$. Ich merke: Eigentlich ist $\nabla_{\gamma'}\gamma'$ schlampig notiert, es muss heißen: $\nabla_{\gamma'(t)}\tilde{\gamma}$.
Also:
$$\nabla_{\gamma'}\gamma'=pr_{\gamma(t)}(\gamma''(t))$$
Also sollte gelten:
$$\dfrac{\nabla}{dt}\gamma'=\nabla_{\gamma'}\gamma'$$
Da sind bestimmt einige Fehler drin (Auswertungen!!!)!
Was haltet ihr davon???
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-15
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Hallo,
du solltest vielleicht auch zunächst mal mehr Details zur Situation geben, sonst kann man dir nicht wirklich weiterhelfen.
Deine Ausführungen erwecken für mich den Eindruck, dass du eine in einem $\mathbb R^n$ eingebettete Untermannigfaltigkeit betrachtest und auf $\mathbb R^n$ mit dem Levi-Civita Zusammenhang arbeitest?
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-16
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\quoteon(2022-12-13 18:37 - nzimme10 in Beitrag No. 7)
Ausgewertet steht da zunächst mal
$$
(\nabla_X X)_{c(t)}=\left(X^i(c(t))X^j(c(t)) \Gamma^k_{ij}(c(t)) +X(X^k)(c(t))\right)(\partial_k)_{c(t)}.
$$
Schreiben wir einfach mal die Definition aus
$$
X(X^k)(c(t))=X_{c(t)}(X^k).
$$
Nun können wir verwenden, dass $X_{c(t)}=\dot c(t)$ gilt und erhalten
$$
X_{c(t)}(X^k)=\dot c(t)(X^k)=(X^k\circ c)'(t).
$$
Du solltest nun selbst in der Lage sein zu zeigen, dass das im Endeffekt
$$
X_{c(t)}(X^k)=(x^k\circ c)''(t)
$$
liefert (wo $x=(x^1,\dots,x^n)$ die Kartenabbildung ist)
\quoteoff
Ich bin leider nicht in der Lage zu sehen wie man von $X_{c(t)}(X^k)=\dot c(t)(X^k)=(X^k\circ c)'(t)$ zu $X_{c(t)}(X^k)=(x^k\circ c)''(t)$ kommt???
\quoteon(2022-12-13 18:37 - nzimme10 in Beitrag No. 7)
Bezeichnet man die Komponenten der Kurve $c$ bezüglich der gewählten Karte mit $c^j:=x^j\circ c$, dann erhält man durch diese Betrachtungen auch
$$
\nabla_{\dot c}\dot c=\left(\frac{\d^2 c^k}{\d t^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{\d c^i}{\d t}\frac{\d c^j}{\d t}\right)\partial_k
$$
\quoteoff
Auch hier: Wie genau zeigt man $X^i(c(t))=\frac{dc^i}{dt}$???
Ich danke für deine Mühe, nzimme10!
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-16
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\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
bitte nimm es mir nicht übel, aber meiner Meinung nach führt das hier grade zu nichts. Ich habe dich darum gebeten, Details zu deiner vorliegenden Situation zu geben. Mir ist unklar, ob wir von den selben Begriffen sprechen bzw. in welchem Kontext du dir diese Fragen stellst. All meine Antworten beziehen sich auf eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ der Dimension $n\in \mathbb N$ zusammen mit einem affinen Zusammenhang $\nabla$.
Das meiste von den von mir angesprochenen Dingen, sind einfach die Definitionen der jeweiligen Objekte (zumindest in dem Kontext, von dem ich spreche). Zum Beispiel gilt nach Definition
$$
X_{c(t)}=\dot c(t).
$$
Für jede glatte Funktion $f$ gilt nun (ebenfalls nach Definition von $\dot c$)
$$
\dot c(t)(f)=(f\circ c)'(t)
$$
und somit für $f=x^i$
$$
\dot c(t)(x^i)=(x^i\circ c)'(t)=\frac{\d c^i}{\d t}(t).
$$
Schreibt man nun $X=X^k\frac{\partial}{\partial x^k}$ in lokalen Koordinaten, so erhält man
$$
X_{c(t)}=X^k(c(t))\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{c(t)}
$$
und somit
$$
\frac{\d c^i}{\d t}(t)=\dot c(t)(x^i)=X_{c(t)}(x^i)=X^k(c(t))\frac{\partial x^i}{\partial x^k}(c(t)).
$$
Nach Definition von $\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{c(t)}$ ist
$$
\frac{\partial x^i}{\partial x^k}(c(t))=\partial_k(x^i\circ x^{-1})(x(c(t)))=\delta^i_k,
$$
wobei $\partial_k(x^i\circ x^{-1})$ hier für die gewöhnliche partielle Ableitung der Funktion $x^i\circ x^{-1}$ nach dem $k$-ten Eintrag steht. Somit erhalten wir
$$
X^k(c(t))\frac{\partial x^i}{\partial x^k}(c(t))=X^k(c(t))\delta^i_k=X^i(c(t)).
$$
Insgesamt haben wir also
$$
\frac{\d c^i}{\d t}(t)=X^i(c(t)).
$$
Nun zu der anderen Frage. Mit $X^k=X(x^k)$ haben wir
$$
X_{c(t)}(X^k)=\dot c(t)(X^k)=(X^k\circ c)'(t)=(X(x^k)\circ c)'(t)=\frac{\d}{\d \tau}\bigg|_{\tau=t}\left(X_{c(\tau)}(x^k)\right).
$$
Weiter ist (wie oben schon gesehen)
$$
X_{c(\tau)}(x^k)=(x^k\circ c)'(\tau)
$$
und somit insgesamt
$$
X_{c(t)}(X^k)=\frac{\d}{\d \tau}\bigg|_{\tau=t}\left((x^k\circ c)'(\tau)\right)=(x^k\circ c)''(t)=\frac{\d^2 c^k}{\d t^2}(t).
$$
Hier sieht man nun also, dass man nur $\tau\mapsto (x^k\circ c)'(\tau)$ (also $\dot c$) kennen muss, um $X(X^k)(c(t))$ zu berechnen. Das wollten wir ursprünglich ja nachweisen.
Zusammengefasst kann man sagen: Ja, $\nabla_{\dot c}\dot c$ ist eigentlich ein abuse of notation bzw. ungenau. Aber ebenso haben wir gesehen, dass man $\dot c$ irgendwie auf glatte Weise auf eine offene Menge durch ein glattes Vektorfeld $X$ fortsetzen kann und dann einfach
$$
(\nabla_{\dot c}\dot c)_{c(t)}:=(\nabla_{X}X)_{c(t)}
$$
definieren kann. Da das wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Fortsetzung $X$, ist, kann man auch problemlos $\nabla_{\dot c}\dot c$ schreiben.
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-17
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\quoteon(2022-12-16 19:23 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
Nun zu der anderen Frage. Mit $X^k=X(x^k)$ haben wir
$$
X_{c(t)}(X^k)=\dot c(t)(X^k)=(X^k\circ c)'(t)=(X(x^k)\circ c)'(t)=\frac{\d}{\d \tau}\bigg|_{\tau=t}\left(X_{c(\tau)}(x^k)\right).
$$
\quoteoff
Hallo, nzimme10!
Ich habe nur noch eine Frage:
Warum gilt $X^k=X(x^k)$???
Kannst du das mal genauer ausführen???
Wenn das auch klar ist, dann habe ich, dank dir alles zusammen.
Vielleicht so:
$X=X^k\cdot\dfrac{\partial}{\partial x^k}$, also $X(x^i)=X^k\dfrac{\partial x^i}{\partial x^k}=X^k\delta_k^i=X^i$.
Ansonsten: Was du schon gemacht hast, reicht mir! Meine Situation brauche ich dir also nicht unbedingt erklären. Ich habe die Vorlesung VT I und VT II bei youtube gehört und lese Differentialgeometriebücher von do Carmo und Kühnel sowie unzählige Skripte aus dem Internet. Daher habe ich manchmal verschiedene Versionen von Objekten der DG. Die wichtigsten Sachen der DG sind mir jetzt geläufig. Dank dir kann ich mich nun auf Literatur stürzen. Ich will mal ein Experte der DG sein, genau wie du! 😃
Ich danke dir von ganzen Herzen! 😄
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nzimme10
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Mitteilungen: 2244
Wohnort: Köln
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Mit Situation meine ich nicht deine persönliche Situation, sondern einfach den Kontext deiner Fragen. Du hast in deinem ersten Beitrag einfach losgelegt und Fragen gestellt, ohne zu sagen, was die Objekte bedeuten, mit denen du hantierst.
Du solltest nächstes mal wenigstens diese Dinge am Anfang klarstellen. "Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, $\nabla$ ein affiner Zusammenhang auf $M$ sowie $c\colon \mathbb R\to M$ eine glatte Kurve". Das würde ausreichen, um zweifelsfrei zu wissen, worum es dir geht.
\quoteon(2022-12-17 09:28 - Cyborg in Beitrag No. 12)
Vielleicht so:
$X=X^k\cdot\dfrac{\partial}{\partial x^k}$, also $X(x^i)=X^k\dfrac{\partial x^i}{\partial x^k}=X^k\delta_k^i=X^i$.
\quoteoff
Ja.
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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$$
\nabla_{\dot c}\dot c=\left(\frac{d^2 c^k}{d t^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{d c^i}{d t}\frac{d c^j}{d t}\right)\partial_k
$$
Nur noch eine Kleinigkeit, dann ist alles OK:
Man muss aber weiterhin schreiben:
$$
(\nabla_{\dot c}\dot c)_{c(t)}=\left(\frac{d^2 c^k}{d t^2}(t)+\Gamma^k_{ij}(c(t))\frac{d c^i}{d t}(t)\frac{d c^j}{d t}(t)\right)(\partial_k)_{c(t)}
$$
Ich wüsste nicht warum $\Gamma^k_{ij}(c(t))=\Gamma^k_{ij}$ oder $(\partial_k)_{c(t)}=\partial_k$ gelten sollte.
Ist das richtig???
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PhysikRabe
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Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.15, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 10:27 - Cyborg in Beitrag No. 14)
Ich wüsste nicht warum $\Gamma^k_{ij}(c(t))=\Gamma^k_{ij}$ oder $(\partial_k)_{c(t)}=\partial_k$ gelten sollte.
\quoteoff
Tut es doch auch nicht. $\partial_k$ ist ein Vektorfeld (ein Element des lokalen Rahmens für das Tangentialbündel), $(\partial_k)_{c(t)}$ ist aber der zugehörige Tangentialvektor am Punkt $c(t)$. Entsprechend sind beide Gleichungen $\nabla_{\dot c}\dot c=\left(\frac{d^2 c^k}{d t^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{d c^i}{d t}\frac{d c^j}{d t}\right)\partial_k$ und $(\nabla_{\dot c}\dot c)_{c(t)}=\left(\frac{d^2 c^k}{d t^2}(t)+\Gamma^k_{ij}(c(t))\frac{d c^i}{d t}(t)\frac{d c^j}{d t}(t)\right)(\partial_k)_{c(t)}$ korrekt, die erstere ist aber eine Identität von Vektorfeldern, letztere eine Identität von Tangentialvektoren in $c(t)$.
Grüße,
PhysikRabe
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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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