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 Beispiel zum dualen Gitter |
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PeterMeier123
Aktiv 
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
 |  Themenstart: 2022-12-14
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Hey 🙂,
die Definition des dualen Gitters besagt, dass $\Lambda^{*} = \{y \in \text{span}(\Lambda)| \forall x \in \Lambda, \langle x , y \rangle \in \mathbb{Z}\}$ ist. Ich versuche nachzuvollziehen, warum jetzt $(2\mathbb{Z}^n)^{*} = \frac{1}{2}\mathbb{Z}^n$ gilt.
Mein Ansatz wäre zunächst $2\mathbb{Z}^n$ und $\frac{1}{2}\mathbb{Z}^n$ zu definieren, das wären ja:
$$2\mathbb{Z}^n = 2x_1 (1,0,...0)^T + ... + 2x_n(0,...,0,1)^T, \, wobei \, x_i \in \mathbb{Z}$$.
$$\frac{1}{2}\mathbb{Z}^n = \frac{1}{2}x_1' (1,0,...0)^T + ... + \frac{1}{2}x_n' (0,...,0,1)^T, \, wobei \, x_i' \in \mathbb{Z}$$
Das zugrundeliegende Gitter $\Lambda$ wäre ja das von $\frac{1}{2}\mathbb{Z}^n$. Jetzt sollen laut Definition die Skalarprodukte eine ganze Zahl ergeben. Nun würden ja Skalarprodukte dieser Art $((1/2)x_1, ... , (1/2)x_n) \bullet (2x_1', ... , 2x_n') \in \mathbb{Z}$ immer eine ganze Zahl ergeben, da ja nach Definition auch $x_i$ und $x_i'$ ganze Zahlen sind.
So richtig sehe ich hier aber noch nicht den Zusammenhang $(2\mathbb{Z}^n)^{*} = \frac{1}{2}\mathbb{Z}^n$ und wie man das zeigt.
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Lavendeltee
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Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 23
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-14
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Hallo,
das ist alles nicht ganz sauber. Beispielsweise fehlen Mengenklammern in deiner Beschreibung von $2\mathbf{Z}^n$ und $(1/2)\mathbf{Z}^n$. Wenn $\Lambda \subset \mathbf{R}^n$ ein vollständiges Gitter ist, dann ist
$$\Lambda^* = \{ y \in \mathbf{R}^n \mid \langle x, y \rangle \in \mathbf{Z} \text{ für alle } x \in \Lambda \}.$$
Außerdem ist
$$2 \mathbf{Z}^n = \{(2x_1, \dots, 2x_n) \mid x_1, \dots, x_n \in \mathbf{Z}\}$$
und
$$(1/2) \mathbf{Z}^n = \{((1/2)y_1, \dots, (1/2)y_n) \mid y_1, \dots, y_n \in \mathbf{Z}\}.$$
Du musst also zeigen: Ein Vektor $(v_1, \dots, v_n) \in \mathbf{R}^n$ hat genau dann die Form $(v_1, \dots, v_n) = ((1/2)y_1, \dots, (1/2)y_n)$ mit $y_1, \dots, y_n \in \mathbf{Z}$, wenn $\langle (2x_1, \dots, 2x_n), (v_1, \dots, v_n)\rangle \in \mathbf{Z}$ für alle $x_1, \dots, x_n \in \mathbf{Z}$ gilt.
Die eine Richtung hierbei sollte sich ganz leicht durch Einsetzen ergeben. Für die andere Richtung solltest Du einmal speziell die Vektoren der Form $(0, \dots, 2, \dots 0)$ auf der linken Seite im Skalarprodukt einsetzen.
Viele Grüße
Lavendeltee
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-14
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Hey 🙂,
danke für deine Anmerkungen!
Also der Teil des Einsetzens ist klar. Das läuft in etwa auf das hinaus, was ich Eingangs beschrieben hatte.
Die zweite Richtung ist etwas spezieller... Wie genau bist du darauf gekommen, Vektoren der Form $(0, \dots, 2, \dots 0)$ zu betrachten (willst du damit Elemente aus $2\mathbb{Z}^n$ ausdrücken)? Das Einsetzen von solchen Vektoren läuft dann auf $0v_1 + ... + 2v_i + 0v_n$ hinaus? Das wäre in den Fällen wo $v_i$ eine ganze Zahl und oder 1/2 wäre auch im Ergebnis eine ganze Zahl.
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-16
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Also diese andere Richtung ist mir noch nicht ganz geheuer. Was genau muss überhaupt, wie gezeigt werden?
Ich versteh das so: Wir versuchen ja $(2\mathbb{Z}^n)^{*} \Leftarrow 0.5\mathbb{Z}^n$ zu zeigen. Das heißt dann, dass wir $0.5\mathbb{Z}^n$ haben und daraus das duale Gitter mit $(2\mathbb{Z}^n)^{*}$ ableiten? Wir versuchen also zu zeigen, dass $(2\mathbb{Z}^n)^{*}$ eine Teilmenge von $0.5\mathbb{Z}^n$ ist, richtig?
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Lavendeltee
Aktiv 
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-17
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Hallo,
wir zeigen, dass
$$(2\mathbf{Z}^n)^* \subset (1/2)\mathbf{Z}^n$$
gilt. Sei also $(v_1, \dots, v_n) \in (2\mathbf{Z}^n)^*$. Das bedeutet $\langle (2x_1, \dots, 2x_n),(v_1, \dots, v_n) \rangle \in \mathbf{Z}$ für alle $x_1, \dots, x_n \in \mathbf{Z}$. Betrachten wir insbesondere einmal $x_1 = 1$ und $x_2 = x_3 = \dots = x_n = 0$. Dann ist $(2x_1, \dots, 2x_n) = (2, 0, \dots, 0)$ und wir sehen
$$\langle(2x_1, \dots, 2x_n), (v_1, \dots, v_n)\rangle = 2v_1 \in \mathbf{Z},$$
also $v_1 \in (1/2)\mathbf{Z}$. Analog sieht man, dass alle anderen Koordinaten von $(v_1, \dots, v_n)$ ebenfalls in $(1/2)\mathbf{Z}$ liegen.
Viele Grüße
Lavendeltee
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-17
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Hey Lavendeltee,
danke für deine Antwort! So ähnlich habe ich das auch. Ich war nur verwirrt, weil du schriebst Vektoren der Form $(0,...,2,...,0)$. Ich hatte mich da gefragt, warum man nicht gleich bei $(2,0,...,0)$ , ... , $(0,...,0,2) $ anfängt und hatte vermutet, dass da noch mehr hinter steckte, was ich so nicht gesehen hab...
Damit haben wir gezeigt $(2\mathbf{Z}^n)^* \subset (1/2)\mathbf{Z}^n$ und $(1/2)\mathbf{Z}^n \subset (2\mathbf{Z}^n)^*$ also auch die Gleichheit.
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