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| Autor |
 Differenzialgleichung mit einer schiefsymmetrischen Matrix |
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kaiserchen
Neu 
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 2
Wohnort: Berlin
 |  Themenstart: 2022-12-14
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Moin,
ich habe folgende Aufgabe auf einem Übungszettel diese Woche:
Sei Sei A:\(\mathbb{R}\xrightarrow{}\mathbb{R}^{n\times n}\) stetig. Zeigen Sie, dass die Matrix A(t) genau dann für alle $t\in\mathbb{R}$ schiefsymmetrisch ist (d.h. $A=-A^T$), wenn für jede Lösung der
Differentialgleichung \(\dot{y}(t)=A(t)y(t)\) gilt, dass ||y|| unabhängig von t ist.
Meine Überlegung war mit der Determinante der Matrix zu argumentieren: Für ungerade n gilt, dass die det(A)=0 ist aufgrund der schiefsymmetrie. Daher wäre der Eigenwert 0, dann wäre die Resultierende e-Funktion gleich 1. Logischerweise wäre dann auch die Norm unabhängig von t. Allerdings ist n in der Aufgabe nicht als ungerade eingeschränkt, für den Fall n grade klappt meine Argumentation nicht. Stehe hier etwas auf dem Schlauch und bräuchte einen Denkanstoß. Vielen Dank!
LG
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-14
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ist dir bekannt, dass die Wronski-Determinante $W(t)=\det(F(t))$ eines beliebigen Fundamentalsystems $F(t)$ dieser DGL die lineare DGL
$$
W'(t)=\opn{tr}(A(t))\cdot W(t)
$$
erfüllt und jede Lösung der DGL $y'(t)=A(t)y(t)$ von der Form $F(t)\cdot x$ für ein $x\in \mathbb R^n$ ist?
Vielleicht hilft dir das weiter.
LG Nico\(\endgroup\)
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo kaiserchen,
fang mal an mit
\( \|y\|=\text{const}\)
\( \Leftrightarrow \|y\|^2=\text{const}\)
\( \D\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\langle y,y\rangle=0\)
Und jetzt diifferenziere und benutze die Dgl.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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