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 Anfangswertproblem |
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WinstonYT
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Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
 |  Themenstart: 2022-12-14
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Hallo Zusammen
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_l_sungirjegijeroigjeorgffsddfsdcedadfsdfsdfswdasdregsfsdfsgd.PNG
Weiss jemand wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen könnte?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
berechne die Lösungen des charakteristiscen Polynoms. Dann sieht man hier klarer, welche Lösungstypen infrage kommen.
PS: die Lösung \(y=0\) ist hier schon auch richtig, wie bei jeder homogenen linearen DGL. Und sie erfüllt das AWP. Es ist also eine triviale Lösung, und die Aufgabe sicherlich so gedacht, dass die nichttrivialen Lösungen gesucht sind.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL höherer Ordnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-14
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Man sollte die Aufgabe dem Aufgabensteller um die Ohren hauen.
Da es sich um eine Dgl. 4. Ordnung handelt, gibt es ein Fundamentalsystem aus vier Funktionen.
Was ist denn nun gefragt? Die allgemeine Lösung muss ja noch zwei freie Parameter enthalten.
Eine sinnvolle Formulierung wäre: "Berechnen Sie die allgemeine Lösung" oder "Berechnen Sie alle Lösungen von". Oder (nach Diophant) "Geben Sie eine nichttriviale Lösung an zu:". Oder eben "Geben Sie eine Lösung an zu:".
Gerade bei automatisch korrigierten Aufgaben (das sieht hier sehr nach Stack aus) darf man die Löser nicht über die gewünschte Form der Antwort im Unklaren lassen.
Die Lösung gibt es eher nicht.
Viele Grüße
Wally
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WinstonYT
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Mitteilungen: 196
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-14 21:00 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
berechne die Lösungen des charakteristiscen Polynoms. Dann sieht man hier klarer, welche Lösungstypen infrage kommen.
PS: die Lösung \(y=0\) ist hier schon auch richtig, wie bei jeder homogenen linearen DGL. Und sie erfüllt das AWP. Es ist also eine triviale Lösung, und die Aufgabe sicherlich so gedacht, dass die nichttrivialen Lösungen gesucht sind.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL höherer Ordnung' von Diophant]
\quoteoff
1.
\lambda^4=1
2.
(\lambda)1 = 1, (\lambda)2 = -1, (\lambda)3&4 = +-i
3.
y1= C1 * e^x
y2 = C2 * e^(-x)
y3&4 = C3 * cos(x) + C4 * sin(x)
y= C1 * e^x + C2 * e^(-x) + C3 * cos(x) + C4 * sin(x)
4.
y(0)=0
C1+C2+C3 = 0
y'(0)=0
y'=-C3*sin(x)+C4*cos(x)+C1*e^x-C2*e^(-x)
C4 + C1 - C2 = 0
5.
C1+C2+C3 = 0
C4 + C1 - C2 = 0
y= C1 * e^x + C2 * e^-x + C3 * cos(x) + C4 * sin(x)
C4 = 2/5
C3 = -1/5
Ich weiss nicht wie ich C1 und C2 so wählen kann das es die genau die Lösung entspricht, bin ich das ganze richtig angegangen?
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Wally
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo WinstonYT,
ein Fundamentalsystem, mit dem sich etwas besser arbeiten lässt, erhältst du mit \( y_1(x)=\sinh x\), \( y_2(x)=\cosh(x)\), \( y_3(x)=\sin x\) und \( y_4(x)=\cos x\).
In \( y(x)=C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)+C_3 y_3(x)+C_4 y_4(x)\)
ist dann \( y(0)=0\) nur noch \( C_4=-C_2\).
Die andere Bedingung findest du bestimmt alleine raus :)
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-15
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@ #0, "Musterlösung":
€dit 1: Dort steht
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_41_555555.png
Vielleicht mache ich ja etwas falsch, aber die Probe mit W|A sagt:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_24_999999.jpg
Eh, etwas seltsam mit den $e^{-2x}$, wie auch immer...
@ #3.
\quoteon(2022-12-15 18:48 - WinstonYT in Beitrag No. 3)
5.
C1+C2+C3 = 0
C4 + C1 - C2 = 0
\quoteoff
Bei Weiterverfolgung dieser Rechnung kannst Du ja das LGS mit 4 Unbekannten und 2 Gleichungen durch Wahl von 4-2 = 2 freien Parametern Lösen, z.B. $C_3=\alpha$ und $C_4 =\beta$.
Damit erhält man einen Lösungsterm mit $\alpha$ und $\beta$.
Dafür kannst Du ja mal z.B. $\alpha=1$ und $\beta=1$ einsetzen und schauen, ob das Programm diese Lösung akzeptiert.
€dit 2: Solch ein unterbestimmtes homogenes LGS hat neben der trivialen Lösung unendlich viele Lösungen. Was ich als bekannt annahm, was überdies durch die oben genannte Wahl freier Parameter eigentlich klar sein sollte - ich wusste nicht, dass ich das (gemäß #6) haarklein dazuzuschreiben habe.
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Wally
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-12-15 19:35 - Wario in Beitrag No. 5)
@ #0, "Musterlösung":
Vielleicht mache ich ja etwas falsch, aber die Probe mit W|A sagt:
Eh, etwas seltsam mit den $e^{-2x}$, wie auch immer...
\quoteoff
Woher hast du denn diese seltsamen $ e^{-2x}$? Oben in deiner Lösung waren die nicht drin.
Und dein homogenes Gleichungssystem mit vier Variablen und zwei Gleichungen - was weißt du aus der linearen Algebra über die Lösungsmenge?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 20:33 - Wally in Beitrag No. 6)
1) Woher hast du denn diese seltsamen $ e^{-2x}$? Oben in deiner Lösung waren die nicht drin.
2) Und dein homogenes Gleichungssystem mit vier Variablen und zwei Gleichungen - was weißt du aus der linearen Algebra über die Lösungsmenge?
\quoteoff
1) Das meinte ich:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_41_555555.png
Ich habe lediglich einmal die Lösung des Programmes geprüft.
2) Wie meinen? Habe ich etwas Falsches gesagt?
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Wally
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-16
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Entweder du hast die Aufgabe falsch abgetippt, oder du solltest dringen den Aufgabesteller kontaktieren.
Die Aufgabe passt mit der Lösung nicht zusammen.
Viele Grüße
Wally
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