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Mathematik » Numerik & Optimierung » Konvergenz des vereinfachten Newton-Verfahrens
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Universität/Hochschule Konvergenz des vereinfachten Newton-Verfahrens
Shi_Kangyi
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2022
Mitteilungen: 5
Wohnort: Göttingen
  Themenstart: 2022-12-17

Lieber Matheplanet, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55962_Screenshot_48_.png Offizieller Tipp zur Aufgabe: Man soll zeigen, dass die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes auf \(K_\rho(x^{(0)})\) erfüllt sind. Also muss doch \(f(x) = x - DF(x^{(0)})^{-1}F(x)\) auf \(K_\rho(x^{(0)})\) kontrahierend sein. Meine Idee: Dafür zeige ich natürlich \(||f(x)-f(y)|| < q||x-y||\), für q<1 und alle x,y aus \(K_\rho(x^{(0)})\). Dann mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(f(x)-f(y)= DF(x^{(0)})^{-1}(F(x)-F(y)- DF(x^{(0)})(x-y))\) \(= \int_{0}^1 DF(x^{(0)})^{-1}(DF(y+t*(x-y))- DF(x^{(0)}))(x-y)dt\) Also schätze ich ab: \(||f(x)-f(y)|| \leq \int_{0}^1 ||DF(x^{(0)})^{-1}(DF(y+t*(x-y))- DF(x^{(0)}))|| ||(x-y)||dt\) \(\leq \int_{0}^1 \omega ||x^{(0)}-y-t(x-y)|| ||(x-y)||dt\) Und hier glaube ich ist meine Abschätzung zu grob: \(\leq \int_{0}^1 \omega*\rho||(x-y)||+\omega*t||(x-y)||^2dt\) \(= \omega*\rho||(x-y)||+0.5\omega||(x-y)||^2\) So weit zu meinen Überlegungen. Ich habe die letzte Voraussetzung noch nicht verwendet, bin aber auch nicht sicher, wie ich sie einbringen kann. Für Feedback oder Ideen wäre ich sehr dankbar! Beste Grüße!

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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-24

\quoteon(2022-12-17 21:57 - Shi_Kangyi im Themenstart) \(\int_{0}^1 \omega ||x^{(0)}-y-t(x-y)|| ||(x-y)||dt\) Und hier glaube ich ist meine Abschätzung zu grob... \quoteoff Hallo Shi_Kangyi, \(x\) und \(y\) liegen beide im Kreis um \(x_0\) mit dem Radius \(\rho\) und auch \(y+t(x-y)\) liegt für \(0\le t \le 1\) in diesem Kreis. Deshalb kann man direkt \(||x^{(0)}-y-t(x-y)|| \le \rho\) abschätzen und muss nicht über die Dreiecksungleichung gehen. Viele Grüße, Stefan

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