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  Nullteiler/Rang/Dimension |
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DickeBackenBeppo
Junior 
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 |  Themenstart: 2022-12-18
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Hallo zusammen,
Wir stehen vor folgendem Problem:
Es sei K ein Körper, U ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ: U → U ein Endomorphismus.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) rank(φ) < dimK(U).
(ii) φ ist ein Links-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein ψ ∈ EndK(U), ψ ≠ 0, mit
φ ◦ ψ = 0.
(iii) φ ist ein Rechts-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein χ ∈ EndK(U), χ ≠ 0, mit
χ ◦ φ = 0.
Aktuell fällt es uns schwer eine Idee für die Aufgabe zu entwickeln, geschweige denn sie zu lösen. Wir könnten uns vorstellen, dass die Dimensionsformel weiterhilft. Damit kann man mit i) folgern, dass der ker(φ) mindestens Dimension 1 hat. Allerdings wissen wir nicht ob/wie diese Mini-Ansatz helfen kann die Äquivalenz zwischen den Aussagen zu zeigen.
Vielen Dank für eure Antworten!
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Nuramon
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-18
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\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
erstmal nur ein Tipp:
Es seien $f,g:V\to V$ lineare Abbildungen mit $f\circ g=0$. Welche Beziehung besteht dann zwischen dem Bild von $g$ und dem Kern von $f$?\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Okay, das würde also bedeuten dass für ein v aus V gelten muss g(v) (also Bild von g) ist Kern von f, da ja f(g(v))=0, richtig?
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Nuramon
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-18
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Für $v\in V$ ist $g(v)\in \ker(f)$.
Welche Teilmengenbeziehung besteht also zwischen den Unterräumen $\ker f$ und $\im g$?\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Dann wäre hier im g \subset\ ker f.
Auf unser Beispiel bezogen ist also bei ii) im \psi \subset\ ker \phi2 bzw. bei
iii) im \phi2 \subset\ ker x.
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Nuramon
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-18
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\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Genau. Übrigens ist diese Teilmengenrelation sogar äquivalent zu $f\circ g = 0$.
Hilft Dir das einen Ansatz für z.B. $(i) \implies (ii)$ zu finden?\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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ehrlich gesagt sehe ich noch keine Verbindung zwischen dieser Teilmengenrelation und i). Muss ich für den Beweis i) -> ii) meinen ganz oben beschriebenen Mini-Ansatz zusätzlich benutzen oder fehlt noch eine andere wichtige Folgerung aus rank \phi2 < dim U an die ich bisher noch nicht gedacht habe
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Nuramon
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-18
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Ja, die Überlegung aus dem Themenstart ist nützlich.
Ziel bei $(i) \implies (ii)$ ist es, eine Abbildung $\psi\not=0$ zu finden, für die $\im \psi \subseteq \ker \varphi$ gilt.
Tipp: Du könntest $\psi$ erstmal auf einem geeigneten Unterraum von $V$ definieren und dann linear fortsetzen..
Du könntest auch mit $(ii) \implies (i)$ anfangen. Das ist eventuell etwas einfacher.\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-19
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danke für deinen Tipp.
Ich würde für i)=>ii) so vorgehen:
i) ist mit Dimensionsformel äquivalent zu dim ker \phi2 >= 1.
Es gibt also ein von Null verschiedenes Element a für das \phi2 (a) = 0
Wir wählen nun \psi konstant a und haben damit eine Abbildung ungleich 0 gefunden für die gilt \phi2 o \psi = 0
ii)=>i) dürfte ähnlich funktionieren, man wählt hier einfach ein \psi(u) mit u\el\ U aus das wir wieder als a bezeichnen, danach nutzt man die Äquivalenzen um zu i) zu gelangen
richtig soweit?
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Nuramon
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-19
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Zu $(i) \implies (ii)$:
Konstante Abbildungen sind (mit einer Ausnahme) nicht linear. Der Ansatz geht aber schon in die richtige Richtung. Stichwort: Lineare Fortsetzung.
Zu $(ii)\implies (i)$:
Führ das noch ein bisschen aus. Eine wichtige Eigenschaft, die das ausgewählte $\psi(u)$ haben sollte, hast Du noch nicht erwähnt.\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-19
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Zu i)=>ii): klar, meine konstante abbildung ist nach nochmaligem Überdenken natürlich nicht linear. Ich habe zwar noch nicht von linearer Fortsetzung gehört, denke aber dass die Abbildung \psi (u)= u*a das geforderte erfüllt
zu ii)=>i) ich denke man sollte natürlich erwähnen, dass \psi (u) \el\ ker \phi2
für ii)<=>iii) habe ich mir auch schon Gedanken gemacht, komme aber hier nicht weiter: wie soll xo\phi2=0 sein, wenn nach Voraussetzung x ungleich 0 sein soll?
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Nuramon
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-19
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\quoteon(2022-12-19 15:39 - DickeBackenBeppo in Beitrag No. 10)
Zu i)=>ii): klar, meine konstante abbildung ist nach nochmaligem Überdenken natürlich nicht linear. Ich habe zwar noch nicht von linearer Fortsetzung gehört, denke aber dass die Abbildung \psi (u)= u*a das geforderte erfüllt
\quoteoff
Was soll $u\cdot a$ sein?
Zu linearen Fortsetzungen: Sicherlich wurde in eurer Vorlesung erwähnt, dass lineare Abbildungen $V\to W$ eindeutig durch die Bilder einer Basis von $V$ bestimmt sind und dass man zu jeder Vorgabe von Funktionswerten auf einer Basis von $V$ eine lineare Fortsetzung auf den ganzen Vektorraum finden kann.
\quoteon
zu ii)=>i) ich denke man sollte natürlich erwähnen, dass \psi (u) \el\ ker \phi2
\quoteoff
Dass $\psi(u)\in \ker \phi$ ist, ist klar weil $\phi\circ \psi = 0$. Wie folgt daraus aber, dass $\dim \ker \phi \geq 1$? Das ist die Lücke, die noch geschlossen werden muss.
\quoteon
für ii)<=>iii) habe ich mir auch schon Gedanken gemacht, komme aber hier nicht weiter: wie soll xo\phi2=0 sein, wenn nach Voraussetzung x ungleich 0 sein soll?
\quoteoff
Versuche es lieber mit $(i)\iff (iii)$.\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-19
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bei ii)=>i) muss \psi (u) !=0 sein
zu i)=>ii) ich muss also zur konstruktion der abbildung \psi für die basis mein von 0 verschiedenes a \el\ ker \phi2 verwenden. Ich werde zur linearen Fortsetzung noch etwas recherchieren und dann eine überarbeitet Abbildung hier hochladen
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-19
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meine Idee ist es jetzt \psi (U) = span (a) mit a\el\ ker \phi2 verschieden von 0 zu wählen. ist diese abbildung nun richtig, langsam weiß ich nämlich nicht mehr weiter 🤯.
für i) <=> iii) tue ich mich schwer alleine eine Lösung zu finden weil für mich \chi != 0 und \chi o \phi2 = 0 widersprüchlich klingt..
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Nuramon
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-12-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\quoteon(2022-12-19 22:03 - DickeBackenBeppo in Beitrag No. 13)
meine Idee ist es jetzt \psi (U) = span (a) mit a\el\ ker \phi2 verschieden von 0 zu wählen. ist diese abbildung nun richtig, langsam weiß ich nämlich nicht mehr weiter 🤯.
\quoteoff
Du hast noch keine Abbildung genannt.
Kannst Du zeigen, dass eine lineare Abbildung mit $\psi(U) = \opn{span}(a)\subseteq \ker \phi$ mit $a\not=0$ existiert?
\quoteon
für i) <=> iii) tue ich mich schwer alleine eine Lösung zu finden weil für mich \chi != 0 und \chi o \phi2 = 0 widersprüchlich klingt..
\quoteoff
Warum klingt das widersprüchlich? Die Verknüpfung zweier linearer Abbildungen kann Null sein, auch wenn keine der beiden Abbildungen die Nullabbildung ist.
In ii) ist die Situation doch recht ähnlich.\(\endgroup\)
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
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zunächst zu i)<=>iii): reicht es \chi so zu definieren: \chi(u)=cases(0, falls u\el\ im \phi2 \or\ u\el\ ker \phi2;1,sonst)
\psi kann ich leider immer noch nicht konstruieren, mir ist klar dass aber die funktion etwas auswerfen muss, das ein vielfaches von a\el\ ker \phi2, a!=0 sein muss, und zwar in abhängigkeit von dem u\el\ U das mein input für \psi ist
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DickeBackenBeppo
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
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Wir haben nach mehrstündigem Knobeln leider nach wie vor keine Ideen wie man die verbleibenden Implikationen zeigen soll. Wir würden uns sehr freuen wenn jmd. einen Vorschlag hat damit wir die Aufgabe lösen können 🙂
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Nuramon
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| Beitrag No.17, eingetragen 2022-12-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Dein Vorschlag für $i\implies iii$ ist nicht linear.
Habt ihr mittlerweile nachgelesen, was ich zu linearer Fortsetzung geschrieben habe?
Die Umsetzung folgt dann etwa folgendem Schema:
- Betrachte einen geeigneten Unterraum von $U$ und wähle eine Basis dieses Unterraums.
- Ergänze diese Basis zu einer Basis von ganz $U$.
- Definiere die Abbildung ($\chi$ bzw. $\psi$) erstmal nur auf den Basiselementen, sodass die gewünschten Eigenschaften zumindest dann erfüllt sind, wenn man nur Basiselemente einsetzt.
- Zeige, dass die lineare Fortsetzung auf ganz $U$ dann immer noch die gewünschten Eigenschaften hat.\(\endgroup\)
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