| Autor |
  Konvergenz einer komplexen Reihe |
|
munu
Aktiv 
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
 |  Themenstart: 2022-12-20
|
Guten Morgen,
ich habe eine Frage bei der ich einen kleinen Denkanstoß bräuchte,
Ich habe eine komplexe Reihe von der weiß ich, dass sie absolut konvergiert,
die sieht ungefähr so aus: \(\sum e^{i \pi n^2}\)
Jetzt ist meine Frage was passiert, wenn ich einen Faktor a dazunehme mit
a aus den positiven reellen Zahlen also: \(\sum e^{i \pi a n^2}\)
Geht dann die Konvergenz kaputt oder nicht?
Ich meine das Problem wäre doch, wenn ich a beliebig klein wähle oder? Dann würde die Reihe doch immer kleinschrittiger und könnte irgendwann divergieren oder nicht?
|
 Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-20
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo munu,
wegen \( |e^{i\pi n^2}|=1\) konvergiert deine Reihe nicht.
Tipp zur Zusatzfrage: \( e^{i\pi a n^2}=(e^{i\pi n^2})^a\).
OK?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
munu
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
|
Ok dann sieht die Funktion eben wie folgt aus
\(e^{i \pi n^2 z}\)
und dann konvergiert sie. Aber jetzt bin ich vollkommen verwirrt, weil mein z ist ja sobald ich mir ein konkretes z vorstelle auch nichts anderes als mein erwähnter Faktor a.
Außer dass a halt reell ist 🤔
\quoteon(2022-12-20 09:23 - Wally in Beitrag No. 1)
Tipp zur Zusatzfrage: \( e^{i\pi a n^2}=(e^{i\pi n^2})^a\).
\quoteoff
Also heißt das, dass ich das a rausziehen kann
und dann da es nicht von n abhängt dann Folgendes schreiben kann:
\((\sum _{n=-\infty}^{\infty}e^{i \pi n^2 z})^a\)
und dann würde der Faktor nichts an meiner Konvergenz ändern?
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-20
|
Hallo,
schon mal überlegt, ob die Summanden Deiner Reihe eine Nullfolge bilden?
Gruß Wauzi
|
Profil
|
munu
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
|
\quoteon(2022-12-20 12:56 - Wauzi in Beitrag No. 3)
Hallo,
schon mal überlegt, ob die Summanden Deiner Reihe eine Nullfolge bilden?
Gruß Wauzi
\quoteoff
Nein, das hab ich erlich gesagt noch nicht gemacht, aber wie ich schon schrieb, ich weiß, dass meine Reihe konvergiert, das war auch gar nicht meine Frage. Meine Frage, bzw meine Verständnisschwierigkeit liegt darin zu verstehen, was mein a kaputt machen kann oder auch nicht.
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-20
|
Woher weißt Du, daß diese Reihe konvergiert
|
Profil
|
Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-20
|
Diese Frage ist entscheidend.
Wenn Dein z reell ist, konvergiert sie nicht.
Wenn nicht reell, dann muß der imaginäre Anteil von z so sein, daß das zusammen mit dem n und dem i vor dem Exponenten etwas negatives (gegen - unendlich) ergibt
|
Profil
|
munu
Aktiv 
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
|
Das ist die Thetareihe oder eine Darstellung davon und wenn ich nichts falsch verstanden habe, dann steht das in meinem Funktionentheorie I Buch, dass die konvergiert.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
|
Profil
|
munu
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
|
\quoteon(2022-12-20 14:17 - Wauzi in Beitrag No. 6)
Wenn nicht reell, dann muß der imaginäre Anteil von z so sein, daß das zusammen mit dem n und dem i vor dem Exponenten etwas negatives (gegen - unendlich) ergibt
\quoteoff
Ja, ist er: z ist aus der oberen Halbebene.
Aber es geht mir immer noch um mein a. Kann das etwas kaputt machen, wenn es reell und positiv ist?
Nein oder?
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-20
|
Wenn die Reihe konvergiert, dann stört positives a nicht
|
Profil
|
munu
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2015
Mitteilungen: 105
Wohnort: Baden-Würtemberg
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
|
Ok, danke. Das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen meine Gedanken nochmal sortieren zu müssen.
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
