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 Beweiskontrolle, Beweisidee ohne verwendete Mengeneigenschaften |
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Farbspiel
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-12-23
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Definition Topologie:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
Ein Mengensystem $T\subset P(X)$ heißt Topologie von $X$, falls:
i) $\emptyset \in T $, $X\in T$
ii) Sei $n\in \mathbb{N}$ endlich, dann gilt für $U_1,...,U_n\in T$:
$$ \bigcap_{i=1}^{n}U_i\in T$$
iii)
Sei $I$ ein Intervall, dann gilt für eine Familie $(U_{i})_{i\in I}$ von Elementen aus $T$:
$$ \bigcup_{i\in I}U_i\in T$$
Ich habe nun einen Beweis mit Ergebnissen aus unserer linearen Algebra Vorlesung (Mengeneigenschaften) geführt. Fragen:
1) Ist der Beweis korrekt? Kritik
2) Fällt euch ein "einfacher" Beweis ein, welcher ohne die Benutzung dieser Mengeneigenschaften auskommt? Mir nicht.
Ich probiere immernoch mit dem Konzept der Topologie vertrauter zu werden, die Aufgabe ist also an sich eher einfach (nicht für mich).
Behauptung:
Seien $X$ eine unendliche Menge. Dann ist $T:=\{U\subset X | X\setminus U \text{ ist endlich}\}\cup \{\emptyset\}$ eine Topologie auf $X$
Beweis:
i) $\emptyset \in T$ klar. $X\setminus X = \emptyset \Rightarrow X \in T$, da die leere Menge endlich ist.
ii) Seien $U_1,...,U_n\in T$, also $X \setminus U_1,...,X \setminus U_n$ endlich. Es gilt:
$X\setminus \bigcap_{i=1}^{n}U_i=\bigcup_{i=1}^{n}X\setminus U_i $
Die Vereinigung $n$ endlicher Mengen muss wieder endlich sein.
Es folgt:
$ \bigcap_{i=1}^{n}U_i\in T$
iii)
Sei $I$ ein Intervall, dann gilt für eine Familie $(U_{i})_{i\in I}$ von Elementen in $T$:
$X \setminus U_i$ ist endlich für alle $i\in I$ .
$X\setminus \bigcup_{i=1}^{n}U_i= \bigcap_{i=1}^{n}X\setminus U_i $ endlich, da der Schnitt von endlichen Mengen endlich ist. Es folgt
$ \bigcup_{i\in I}U_i\in T$
Somit wurde gezeigt, dass $T$ die Eigenschaften einer Topologie erfüllt.
q.e.d.
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
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Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-23
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Hallo,
der Beweis ist fast richtig, im dritten Teil hast du wahrscheinlich einen Copy-Paste-Fehler gemacht. Die Vereinigung ist ja über $I$, nicht von 1 bis n. Die Begründung stimmt aber.
(Außerdem ist $I$ kein Intervall, sondern einfach eine Menge. Man sagt auch Indexmenge. Und man braucht nicht, dass X ein metrischer Raum ist, man braucht nur eine Menge.)
Wieso sollte dieser Beweis ohne grundlegende Mengeneigenschaften funktionieren? Hier kommen ja schon in der Behauptung die Begriffe Komplement, Vereinigung, Durchschnitt, endliche Menge vor. Dann würde man doch erwarten, dass im Beweis Aussagen benutzt werden, die diese Begriffe zusammenbringen.
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Farbspiel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-23
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Danke, freut mich, dass der Beweis weitestgehend richtig ist :)
Die beiden Ungenauigkeiten ärgern mich trotzdem :D
\quoteon(2022-12-23 14:20 - ligning in Beitrag No. 1)
Wieso sollte dieser Beweis ohne grundlegende Mengeneigenschaften funktionieren? Hier kommen ja schon in der Behauptung die Begriffe Komplement, Vereinigung, Durchschnitt, endliche Menge vor. Dann würde man doch erwarten, dass im Beweis Aussagen benutzt werden, die diese Begriffe zusammenbringen.
\quoteoff
Ja, das stimmt schon, aber es hat mich interessiert, da ich mich bei dem Beweis zunächst sehr auf das Analysis-Skript fokussiert hatte und es ohne die Identitäten
$$X\setminus \bigcap_{i=1}^{n}U_i=\bigcup_{i=1}^{n}X\setminus U_i \\
X\setminus \bigcup_{i\in I}U_i= \bigcap_{i\in I}X\setminus U_i $$
probiert habe.
Dabei bin ich gescheitert, und ich wollte wissen, ob ich etwas Naheliegendes übersehen habe und es eigentlich auch ohne die Identitäten geht.
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ligning
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-23
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Das sind ganz grundlegende Mengenidentitäten, die wirst du immer wieder brauchen. Es war nicht so gedacht, dass du die nach der linearen Algebra wieder vergisst 😃
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2864
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Du benutzt ein paar mal die unwahre Behauptung, dass aus $U \in T$ folgt, dass $X \setminus U$ endlich ist.
Du müsstest eigentlich jeweils zwei Fälle unterscheiden: 1) $\emptyset$ ist unter den zu vereinigenden bzw. zu schneidenden Mengen, 2) $\emptyset$ ist nicht darunter.\(\endgroup\)
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