| Autor |
  Konvergenzbeweis Reihe |
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WernerF
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 18.07.2021
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-12-26
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Sei (a_n) eine Folge positiver Zahlen die monotan wachsend + beschränkt ist beweisen Sie, dass die Reihe konvergent ist:
$$ (\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } - 1} ) $$
Daran kaue ich rum, was ich weiss das ich zeigen muss das die Folge der Partialsummen beschränkt sein soll, aber das wie, daran klemmts im Moment noch
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-26
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Eine Folge, die monoton wachsend und beschränkt ist, konvergiert. Es gibt also ein a, sodass a_n gegen a konvergiert.
Hilft dir das? :)
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WernerF
Wenig Aktiv
Dabei seit: 18.07.2021
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-26
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Danke mal für die Antwort,
mir ist noch nicht ganz klar wie ich das verwenden kann !
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-26
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Hallo,
ein grober Tip:
Erstelle eine Ungleichung für eine Abschätzung der Reihe nach oben. Hierzu:
Schreibe die Klammer auf einen Bruch und betrachte Partialsummen bis zu einem N.
Alle a(n) sind größergleich einem bestimmten Wert. (Welchem?)
Schätze mit dieser Information den Nenner nach unten und damit die Summe nach oben ab (Wichtig hierbei ist eine weitere Eigenschaft der a(n)) und klammere aus.
Die verbleibende Summe solltest Du problemlos vereinfachen können.
Und schon ist die Beschränktheit der Reihe gezeigt
Gruß Wauzi
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WernerF
Wenig Aktiv
Dabei seit: 18.07.2021
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-27
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Hallo Wauzi,
ich versuchs mal:
1.)Schreibe die Klammer auf einen Bruch und betrachte Partialsummen bis zu einem N
So das wäre dann Sn= \(\sum_{n=1}^{n}{\frac { { a }_{ n+1 } - { a }_{ n } }{ { a }_{ n } } } \)
2.) Alle a(n) sind größergleich einem bestimmten Wert. (Welchem?)
Also da (an) eine Folge positiver Zahlen ist, dann ist an > 0 und kleiner a, da monoton wachsend und beschränkt ist, dann ist a der Grenzwert.
Also ist der grenzwert von an+1 - an für n gegen unendlich 0
Irgendwie komme ich nicht weiter
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
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Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-27
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Vorschlag:
a(n)>=a(1)
Und was gilt für den Zähler?
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WernerF
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-28
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Also wenn a(n) >= a(1) dann ist a(n+1) -a(n) >= a(1)
liege ich da richtig ?
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-28
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ersten stimmt das nicht und zweitens dient die Abschätzung nur dazu, den Nenner wegzukriegen.
Laß beim Abschätzen den Zähler in Frieden und kümmere Dich nur um den Nenner. Wie kannst Du diese Abschätzung der a(n) auf den Nenner verwenden?
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WernerF
Wenig Aktiv
Dabei seit: 18.07.2021
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-29
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Kannst Du mir bitte erklären was an meiner Abschätzung falsch ist ?
Nun zur Abschätzung das Nenners den Zähler bezeichne ich mal einfach als A, da a(n) >= a(1) ist A/a(n) =< A/a(1) =< A
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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1688
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-29
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Hallo Werner,
\quoteon(2022-12-29 20:24 - WernerF in Beitrag No. 8)
Kannst Du mir bitte erklären was an meiner Abschätzung falsch ist ?
\quoteoff
betrachte z.B. \(a_n=4\) und \(a_{n+1}=5\), sowie \(a_1=2\).
\quoteon(2022-12-29 20:24 - WernerF in Beitrag No. 8)
Nun zur Abschätzung das Nenners den Zähler bezeichne ich mal einfach als A, da a(n) >= a(1) ist A/a(n) =< A/a(1) =< A
\quoteoff
Die erste Abschätzung ist richtig, die zweite gilt aber nur, wenn \(a_1 \ge 1\) gilt. Man braucht die zweite Abschätzung auch nicht. Da der Nenner nun konstant ist, kannst du ihn aus der Summe herausziehen. Betrachte nun die Summe für eine endliche Obergrenze \(N\). Fällt dir etwas auf?
lg Wladimir
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-12-29
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Die vorletzte Ungleichung stimmt, die letzte nicht, da nichts über a(1) (außer positiv) bekannt ist.
Und wie macht man jetzt weiter, um die Summe zu vereinfachen?
PS: Letzte Frage war überflüssig, ich habe in der Eile wladimirs post übersehen
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WernerF
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 18.07.2021
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-30
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So, dann betrachte ich einfach mal den Fall n=4 das wäre dann 1/a(1) mal Summe a(2) - a(1) + a(3) + a(2) + a(4) - a(3) + a(5) - a(4)
das ist wenn ich richtig gerechnet habe 1/a(1) mal (a5) - a(1)
also 1/(a1) mal die Summe vom letzen Glied minus dem ersten also a(N) - a(1)
richtig ?
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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1688
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-12-30
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Hallo,
ja, das ist richtig. Es handelt sich hierbei um eine sogenannte Teleskopsumme, bei der sich alle Summanden bis auf den ersten und den letzten herauskürzen. Nun kannst du den Limes \(N \to \infty\) berechnen.
lg Wladimir
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
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Wohnort: Bayern
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-30
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Und jetzt das Ganze ordentlich mit Summenzeichen und allgemeinen Umformungen...
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WernerF
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 68
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-31
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Also herzlichen Dank für eure Geduld und Mithilfe, da habe ich jetzt einiges gelernt, ich wünsche euch noch ein gute neues Jahr
Gruss
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