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| Autor |
  Duale Abbildungen |
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Sylatic
Neu 
Dabei seit: 29.12.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-12-29
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Hallo zusammen,
Ich bin momentan dabei duale Abbildungen zu verstehen. Die Definition habe ich soweit verstanden(oder dachte ich jeweils) und auch zu beweisen, dass die duale Abbildung wieder eine lineare Abbildung ist, fiel mir auch sehr einfach(Hier unsere Definition:)
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/56058_Bild_2022-12-29_123111547.png
Nun ergibt sich daraus der Gedanke, dass man auch eine Abbildung definieren kann, die jeder linearen Abbildung f ihre duale Abbildung zuordnet, also $$h: Hom_K(V,W) \to Hom_K(W^*,V^*) , f \mapsto f^*$$
Zu beweisen, dass diese Abbildung h jetzt wieder linear ist, fällt mir aber sehr schwer, vor allem da ich anscheinend nicht ganz verstanden habe was es heißt Abbildungen auf Abbildungen abzubilden. Nehmen wir zum Beispiel einfach die zwei lin. Abbildungen a(x) = 2x und b(x) = 3x. Was genau heißt es a auf b abzubilden? Es wäre nicht einfach die Komposition oder?
Danke schonmal im Voraus.
Sylatic
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1727
Wohnort: Freiburg
|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-29
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Hallo Sylatic und willkommen auf dem Matheplaneten!
Funktionen sind einfach Elemente des Funktionenraumes. Man bildet sie also genau so aufeinander ab, wie man Elemente aufeinander abbildet. In deinem Beispiel heißt das, dass das Bild von a einfach b ist. Wenn wir die Funktion nun F nennen, können wir schreiben \(F(a)(x)=b(x)=3x\). Beachte die Notation, F(a) ist eine Funktion, die auf ein Element der Definitionsmenge x angewandt wird. Die Dualitätsabbildung \(h: f \mapsto f^*\) wirkt auf eine Funktion folgendermaßen \(h(f)(\alpha)=f^*(\alpha)=\alpha \circ f\). Nun musst du z.B. zeigen, dass \(h(f_1+f_2)=h(f_1)+h(f_2)\).
Viele Grüße,
Wladimir
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Sylatic
Neu
Dabei seit: 29.12.2022
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-29
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Hallo Wladimir
Ah ok vielen Dank dir jetzt hab ich es verstanden!
Grüße und guten Rutsch ins neue Jahr!
Sylatic
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