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  Eine unberechenbare reelle Zahl |
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tetriscyphervalo
Aktiv 
Dabei seit: 19.01.2021
Mitteilungen: 42
 |  Themenstart: 2023-01-01
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Für jede reelle Zahl $x \in [0,1]$ existiert eine eindeutige Folge $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ mit $x_k \in \{0,1\}$ für alle $k \in \mathbb{N}$, sodass
$\sum\nolimits_{k=0}^\infty x_k*2^{-k}=x$ und
$x_k=0$ für unendlich viele $k \in \mathbb{N}$.
Die Aufgabe besagt, dass es eine unberechenbare Zahl $x$ existiert, falls die funktion $f_x: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$, mit $f_x(k):=x_k$ nicht berechenbar ist.
Meine Gedanken diesbezüglich stehen momentan im Widerspruch, denn eine Binärentwicklung einer reellen Zahl ist entweder endlich, wie z.B. $x=0.625=0,101\{0\}^*$ oder aber $x=0.4=0,\{0110\}^*$, also eben eine unendliche Aneinanderreihung von $0110$.
Für jedes dieser Zahlen ist $f_x$ berechenbar, denn wir können offensichtlich für die Binärentwicklung einer endlichen Zahlenfolge alle $k$ stellen berechen und auch für unendliche Zahlenfolgen, in dem wir es bis zu der $k-ten$ Stelle berechnen und ausgeben.
Hat jemand eine Idee, wo meine Gedanken scheitern? Wäre für jeden Tipp dankbar.
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 Profil
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2712
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Nimm irgendeine nicht-berechenbare Funktion $f \colon \IN \to \{0,1\}$ (die an unendlich vielen Stellen 0 ist), und setze $x := \sum\nolimits_{k=0}^\infty x_k\cdot 2^{-k}$. $x$ ist dann nicht berechenbar und $f_x=f$.\(\endgroup\)
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3262
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-02
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\quoteon(2023-01-01 21:30 - tetriscyphervalo im Themenstart)
Meine Gedanken diesbezüglich stehen momentan im Widerspruch, denn eine Binärentwicklung einer reellen Zahl ist entweder endlich, wie z.B. $x=0.625=0,101\{0\}^*$ oder aber $x=0.4=0,\{0110\}^*$, also eben eine unendliche Aneinanderreihung von $0110$.
\quoteoff
Was du hier beschreibst sind rationale Zahlen (entsprechen in Stellenwertsystemen genau den endlichen und periodischen Entwicklungen), nicht allgemein reelle Zahlen.
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Profil
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tetriscyphervalo hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
tetriscyphervalo hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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