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  Fläche/Volumen parametrisierter Objekte berechnen |
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tonig
Junior 
Dabei seit: 08.01.2020
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2023-01-05
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Hallo zusammen,
ich stehe vor dem Problem, dass ich die folgenden Aufgaben lösen muss. Ich war leider länger krank und habe daher einige Vorlesungen verpasst und es gibt auch kein Skript zur Vorlesung, daher fehlt mir im Moment komplett der Ansatz diese Aufgaben zu lösen und es würde mir schon sehr helfen, wenn mir jemand ein paar Stichworte nennen könnte, mit denen ich mich beschäftigen sollte. Die Aufgaben sind die Folgenden:
1) Berechne \(\lambda_2(A)\) mit \(a>0\) für
\(A=\{(r\cosh s, r \sinh s):00\) für
\(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z>0,a^2
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2054
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-05
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
beginnen wir doch mal mit der Menge $A$. Es liegt auf der Hand die Abbildung
$$
\Phi\colon (0,1)\times (0,a)\to \mathbb R^2, \ (r,s)\mapsto (r\cosh(s),r\sinh(s))
$$
zu betrachten, denn es ist $\Phi(U)=A$, wenn man $U:=(0,1)\times (0,a)$ setzt. Nach der Transformationsformel ist dann
$$
\lambda_2(A)=\lambda_2(\Phi(U))=\int_U |\det(D\Phi(r,s))|\dd \lambda_2(r,s).
$$
Mit dem Satz von Fubini (bzw. Tonelli) wird das zu
$$
\int_U |\det(D\Phi(r,s))|\dd \lambda_2(r,s)=\int_0^1\int_0^a |\det(D\Phi(r,s))|\dd s\dd r.
$$
Das letzte Integral sollte man nun mit den Methoden aus Analysis I berechnen können (hier wurde noch der Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral genutzt). Natürlich muss man sich zunächst noch davon überzeugen, dass man die Transformationsformel auch wirklich anwenden kann. Dazu muss man sich überlegen, dass $\Phi\colon U\to A$ ein $C^1$-Diffeomorphismus ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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tonig
Junior
Dabei seit: 08.01.2020
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-05
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Hallo Nico,
vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir auf jeden Fall schon mal sehr viel weiter. Bei der 2. Aufgabe dachte ich mir könnte ich dann so ähnlich vorgehen. Also im wesentlichen stelle ich mir das so Vor als hätte ich Da eine große Kugel mir Radius \(b\), von der ich dann im Inneren eine kleinere Kugel mit Radius \(a\) abziehe. Nur, dass zusätzlich noch in \(z\)-Richtung was fehlt. Wäre es dann sinnvoll eine Transformation auf Kugelkoordinaten zu machen und dann mit Fubini das ganze auseinander zu ziehen, und dann die einzelnen Integrale so um zu sortieren, dass die Grenze, die dann noch von einem Winkel abhängt ganz innen steht?
VG Toni
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-05
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Versuch es doch einfach mal. Du wirst schon sehen, ob dich eine Substitution weiterbringt, oder ob sie nicht zielführend ist. Da gehört sicherlich auch etwas rumprobieren dazu, wenn man nicht sofort sieht, wie man es lösen kann.
LG Nico
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tonig hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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