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  Schnitt zweier Unterräume |
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Tom2177
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2023-01-06
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Hallo zusammen,
hänge bei folgender Aufgabe etwas in der Luft:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55994_Bildschirmfoto_2023-01-06_um_17.10.26.png
Lg
Thomas
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
überlege dir einmal, wie man für \(i\in\lbrace 1,2,\dotsc,k\rbrace\) möglichst einfach \(b_i\in\on{ker}(A)\) rechnerisch überprüfen könnte. Am besten in einer einzigen Rechnung...
Nachtrag: diese Idee (wie sie bis Beitrag #8 besprochen wird) funktioniert nicht. Siehe dazu die Beiträge #9 und #11.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Tom2177
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-06
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\quoteon(2023-01-06 17:45 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
überlege dir einmal, wie man für \(i\in\lbrace 1,2,\dotsc,k\rbrace\) möglichst einfach \(b_i\in\on{ker}(A)\) rechnerisch überprüfen könnte. Am besten in einer einzigen Rechnung...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo,
diesen Ansatz hab ich zuvor schon in Betrachtung gezogen, man könnte einfach jeden der explizit angegebenen Vektoren b_1,..., b_k nehmen und checken ob
A*b_i = 0 für (i \el\ {1,...,k}
falls die Gleichung erfüllt wäre, wüsste ich das dieser Vektor b im Schnitt liegt. Nur bin ich mir nicht sicher, woher ich weiß, dass diese Vektoren schon ein Erzeugendensystem von U_1 \cut\ U_2 sind.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\quoteon(2023-01-06 18:01 - Tom2177 in Beitrag No. 2)
diesen Ansatz hab ich zuvor schon in Betrachtung gezogen, man könnte einfach jeden der explizit angegebenen Vektoren b_1,..., b_k nehmen und checken ob
A*b_i = 0 für (i \el\ {1,...,k}
falls die Gleichung erfüllt wäre, wüsste ich das dieser Vektor b im Schnitt liegt. Nur bin ich mir nicht sicher, woher ich weiß, dass diese Vektoren schon ein Erzeugendensystem von U_1 \cut\ U_2 sind.
\quoteoff
Man macht dabei doch nichts anderes, als die Vektoren aus dem Erzeugendensystem von \(U_1\) auszusieben, so dass nur die übrig bleiben, die in auch \(U_2\) liegen. Angenommen, der Schnitt wird durch dieses System nicht vollständig erzeugt, dann müssten im Schnitt Vektoren enthalten sein, die entweder nicht in \(U_2\) oder nicht in \(U_1\) liegen. Das wäre ein Widerspruch.
Und wie könnte man denn die von dir erwogenen \(k\) Einzelrechnungen zu einer zusammenfassen?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Tom2177
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-06
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\quoteon(2023-01-06 18:09 - Diophant in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-01-06 18:01 - Tom2177 in Beitrag No. 2)
diesen Ansatz hab ich zuvor schon in Betrachtung gezogen, man könnte einfach jeden der explizit angegebenen Vektoren b_1,..., b_k nehmen und checken ob
A*b_i = 0 für (i \el\ {1,...,k}
falls die Gleichung erfüllt wäre, wüsste ich das dieser Vektor b im Schnitt liegt. Nur bin ich mir nicht sicher, woher ich weiß, dass diese Vektoren schon ein Erzeugendensystem von U_1 \cut\ U_2 sind.
\quoteoff
Man macht dabei doch nichts anderes, als die Vektoren aus dem Erzeugendensystem von \(U_1\) auszusieben, so dass nur die übrig bleiben, die in auch \(U_2\) liegen. Angenommen, der Schnitt wird durch dieses System nicht vollständig erzeugt, dann müssten im Schnitt Vektoren enthalten sein, die entweder nicht in \(U_2\) oder nicht in \(U_1\) liegen. Das wäre ein Widerspruch.
Und wie könnte man denn die von dir erwogenen \(k\) Einzelrechnungen zu einer zusammenfassen?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Danke, das ist mir jetzt klar.
Würde dann als mein Erzeugendensystem vom Schnitt einfach die Menge { b \el\ { b_1,...,b_k } : A*b=0 } wählen.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-06 18:17 - Tom2177 in Beitrag No. 4)
Würde dann als mein Erzeugendensystem vom Schnitt einfach die Menge { b \el\ { b_1,...,b_k } : A*b=0 } wählen.
\quoteoff
Na ja, unter "berechnen" würde ich schon verstehen, dass sich das auf konkrete Beispiele so anwenden lässt, dass man damit die fraglichen Vektoren \(b_i\) konkret bekommt.
Sei \(B\) eine Matrix, deren Spalten genau aus den Vektoren \(b_i\) besteht. Was würde denn bei der Multiplikation \(A\cdot B\) passieren
- für \(b_i\in \on{ker}(A)\)
- für \(b_i\notin \on{ker}(A)\)
(Mache dir auch klar, dass das obige Produkt definiert ist und welche Dimension es besitzt...)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Tom2177
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-06
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\quoteon(2023-01-06 18:23 - Diophant in Beitrag No. 5)
\quoteon(2023-01-06 18:17 - Tom2177 in Beitrag No. 4)
Würde dann als mein Erzeugendensystem vom Schnitt einfach die Menge { b \el\ { b_1,...,b_k } : A*b=0 } wählen.
\quoteoff
Na ja, unter "berechnen" würde ich schon verstehen, dass sich das auf konkrete Beispiele so anwenden lässt, dass man damit die fraglichen Vektoren \(b_i\) konkret bekommt.
\quoteoff
Verstehe nicht, warum die Vektoren meiner Ergebnismenge nicht konkret seihen sollten. Die Menge besteht doch aus ganz konkreten Vektoren. Und das lässt sich ja auch auf konkrete Beispiele anwenden, oder wie meinst du das genau?
Gruß, Thomas
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Diophant
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Mitteilungen: 10534
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-06 18:36 - Tom2177 in Beitrag No. 6)
Verstehe nicht, warum die Vektoren meiner Ergebnismenge nicht konkret seihen sollten. Die Menge besteht doch aus ganz konkreten Vektoren. Und das lässt sich ja auch auf konkrete Beispiele anwenden, oder wie meinst du das genau?
\quoteoff
Aus deiner Mengenangabe geht noch nicht hervor, welche der Vektoren \(b_i\) jetzt wirklich den Schnitt erzeugen.
In der von mir vorgeschlagenen Rechnung besitzt das Produkt \(A\cdot B\) die Dimension \(m\times k\). Jede Nullspalte dieses Produkts steht dabei für einen Vektor \(b_i\in\on{ker}(A)\), anderenfalls hat man eine Spalte mit Einträgen ungleich Null.
Das vestehe ich unter einem konkreten Rechenverfahren, und der Operator in der Aufgabenstellung heißt ja "berechnen". Auf der anderen Seite bin ich vom modernen Uni-Betrieb sehr weit weg, du kannst das dann vermutlich besser beurteilen, in welcher Form die Antwort hier erwartet wird.
!!! Auch hier nochmal als Nachtrag: der ganze Ansatz war ein Denkfehler meinerseits. Siehe dazu die Beiträge #9 und #11. Sorry dafür !!!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Tom2177
Aktiv
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-06
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\quoteon(2023-01-06 18:47 - Diophant in Beitrag No. 7)
\quoteon(2023-01-06 18:36 - Tom2177 in Beitrag No. 6)
Verstehe nicht, warum die Vektoren meiner Ergebnismenge nicht konkret seihen sollten. Die Menge besteht doch aus ganz konkreten Vektoren. Und das lässt sich ja auch auf konkrete Beispiele anwenden, oder wie meinst du das genau?
\quoteoff
Aus deiner Mengenangabe geht noch nicht hervor, welche der Vektoren \(b_i\) jetzt wirklich den Schnitt erzeugen.
In der von mir vorgeschlagenen Rechnung besitzt das Produkt \(A\cdot B\) die Dimension \(m\times k\). Jede Nullspalte dieses Produkts steht dabei für einen Vektor \(b_i\in\on{ker}(A)\), anderenfalls hat man eine Spalte mit Einträgen ungleich Null.
Das vestehe ich unter einem konkreten Rechenverfahren, und der Operator in der Aufgabenstellung heißt ja "berechnen". Auf der anderen Seite bin ich vom modernen Uni-Betrieb sehr weit weg, du kannst das dann vermutlich besser beurteilen, in welcher Form die Antwort hier erwartet wird.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ok, danke für die Hilfe!
LG Thomas
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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
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Wohnort: Bonn
 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-08
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Hey zusammen,
Wenn ich richtig verstanden haben wollt ihr b‘s auswählen; die im Kern liegen. Das funktioniert allerdings nicht, weil dabei nicht der gesamte Schnitt entstehen muss.
Beispielhaft (Dimension 2) : B ist die Standard Basis, A ist die Matrix mit -1 auf der hauptdiagobale, und sonst Einsen: der Kern wird also erzeugt von dem Vektor mit nur Einsen.
Der Schnitt ist wieder der Kern von A , aber keiner der bs liegt im Kern, mit dem obigen Verfahren käme also kein Vektor dabei heraus.
Viele Grüße
Creasy
Mein Versuch
Ein Element aus U1 lässt sich schreiben als B*y. Damit es im Kern liegt ist ABy=0. bestimme also nicht die null Spalten von AB sondern eine Basis von kerAB.
Auf diese Vektoren muss dann noch wieder B angewendet werden
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-01-08
|
Hallo Creasy,
zunächst danke für deinen Einwand.
Ja, du hast recht: da ist uns ein ziemlicher Schnitzer passiert. Ich werde das jetzt oben nachträglich richtigstellen.
Gruß, Diophant
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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 8203
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-08
|
Hallo,
man kennt das vielleicht noch aus der Schule.
Gegeben zwei Ebenen durch den Ursprung \(E_1:2x_1+3x_2-x_3=0\) und \(E_2:\vec x=\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) + \mu\left(\begin{array}{c}5\\-3\\8\end{array}\right)\). Gesucht ist die Gerade \(E_1\cap E_2\).
Man könnte das so lösen, dass die Darstellung von \(E_2\) in die Gleichung von \(E_1\) eingesetzt wird. Man erhält so eine Gleichung für \(\lambda\) und \(\mu\), wodurch sich eine der Variablen in \(E_2\) eliminieren lässt. Dies ergibt dann eine Geradengleichung.
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Tom2177
Aktiv
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Mitteilungen: 28
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-08
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\quoteon(2023-01-08 08:02 - Creasy in Beitrag No. 9)
Hey zusammen,
Wenn ich richtig verstanden haben wollt ihr b‘s auswählen; die im Kern liegen. Das funktioniert allerdings nicht, weil dabei nicht der gesamte Schnitt entstehen muss.
Beispielhaft (Dimension 2) : B ist die Standard Basis, A ist die Matrix mit -1 auf der hauptdiagobale, und sonst Einsen: der Kern wird also erzeugt von dem Vektor mit nur Einsen.
Der Schnitt ist wieder der Kern von A , aber keiner der bs liegt im Kern, mit dem obigen Verfahren käme also kein Vektor dabei heraus.
Viele Grüße
Creasy
Mein Versuch
Ein Element aus U1 lässt sich schreiben als B*y. Damit es im Kern liegt ist ABy=0. bestimme also nicht die null Spalten von AB sondern eine Basis von kerAB.
Auf diese Vektoren muss dann noch wieder B angewendet werden
\quoteoff
Hallo,
Erstmal danke für deine Antwort.
In der Angabe steht, die Umwandlung von impliziter Form auf explizite Form sollte vermieden werden. Beim Berechnen der Basis des Kerns von AB würde man eine implizite Form in eine explizite umwandeln, denke also, dass die Lösung nicht ganz zulässig wäre.
Gruß, Thomas
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Tom2177 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Tom2177 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Tom2177 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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