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| Autor |
  Holomorphie der Determinante zeigen |
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OliverKhan
Neu 
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-01-07
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Moin,
ich sitze gerade an einem Projekt für die Uni und muss einen Beweis aus einem Buch verstehen, jedoch stehe ich bei einer Stelle in diesem Beweis ziemlich auf dem Schlauch. Leider gibt es sehr viel Notation, weshalb mein Beitrag wahrscheinlich deutlich länger sein wird, als es vielleicht nötig ist.
Wir betrachten
\[L:C([-r,0],\mathbb{C}^n)\rightarrow\mathbb{C}^n, \text{linear beschränkt}, r\in\mathbb{R} \\
exp_\lambda:[-r,0]\rightarrow\mathbb{C}, \ \theta\mapsto e^{\lambda\theta}\\
\text{und } L_\lambda=(L(exp_\lambda e_1)|L(exp_\lambda e_2)|...|L(exp_\lambda e_n)) \\
\text{wobei } L_\lambda \text{ eine Matrix ist, die als Spalten die } L(exp_\lambda e_i) \text{ hat und } (e_i)_{i\in I} \\ \text{ ist die Einheitsbasis des }\mathbb{C}^n.
\]
Außerdem gilt
\[L(exp_\lambda v) =L_\lambda v \text{ für alle } v\in\mathbb{C}^n
\]
Wir wollen nun zeigen, dass die Funktion
\(p(\lambda):=det(\lambda I-L_\lambda)\) auf ganz \(\mathbb{C}\) holomorph ist.
Man kommt recht schnell darauf, dass es zu zeigen reicht, dass \(L_\lambda\) überall holomorph ist und dass das dann der Fall ist, wenn jeder Eintrag der Matrix überall holomorph ist.
Jetzt kommen wir jedoch zum Casus Knacksus. Um das zu zeigen wird in meinen Unterlagen behauptet, dass es zu zeigen reicht, dass
\(g(\lambda):=L(exp_\lambda v)\) auf ganz \(\mathbb{C}\) holomorph ist, für alle \(v\in\mathbb{C}^n\).
Dies leuchtet mir aber nicht ein. Wir wollen ja zeigen, dass jeder Eintrag holomorph ist. Wenn wir gezeigt haben, dass \(g\) holomorph ist, dann wissen wir zwar, dass \(L_\lambda v\) für alle \(v\) holomorph ist, aber wie wir dann auf die Einträge schließen können, sehe ich nicht.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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 Profil
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-08
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Hallo OliverKhan,
nehmen wir an, Du hast schon gezeigt, dass \(g\) für jedes \(v\in\mathbb{C}^n\) holomorph ist. Die Abbildung \(g=(g_1,\ldots,g_n)^T\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}^n\) ist genau dann holomorph, wenn die Abbildungen \(g_j\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) für \(j=1,\ldots,n\) holomorph sind. Nun gilt aber für \(i\in\{1,\ldots,n\}\) und \(v=e_i\), dass \(g_j(\lambda)=(L(\exp_\lambda e_i))_j=(L_\lambda)_{ji}\), d.h. der \(ji\)-te Eintrag ist holomorph.
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OliverKhan
Neu
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-10
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Moin,
ja stimmt, ergibt Sinn.
Danke für deine Erklärung.
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OliverKhan hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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