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  Integral von Produkt von zwei Funktionen gleich 0 |
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paulster
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-01-12
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Guten Tag allerseits,
ich bin auf ein scheinbar doch nicht so einfaches. Bsp. gestoßen, dass mich jetzt schon Stunden gekostet hat, aber ich hab noch immer keinen brauchbaren Ansatz:
Zu zeigen ist: $\forall \phi \in C_c^\infty: \, \int f\phi = 0 \implies \int f=0$.
Also $\phi$ hat kompakten Träger und ist unendlich oft stetig differenzierbar.
Ich hab hier versucht einen Widerspruch zu erzeugen unter der Annahme, dass $\int f \neq 0$, aber das führt zu nichts.
Wenn jemand hier vlt. eine Idee hat, würde ich mich freuen.
Danke schonmal und bis hoffentlich bald :), LG,
Paulster
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9726
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo paulster,
ich gehe mal davon aus, dass $f$ Lebesgue-integierbar sein soll.
Beweise das doch zunächst mal für Treppenfunktionen $f$.
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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paulster
Wenig Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-12
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Hallo Wally,
danke für deine rasche Antwort. Ich hab das jetzt mal folgendermaßen angefangen:
Sei $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}$) (ich hab jetzt $\mathbb{R}$ angenommen oder sollte ich das lieber allgemeiner halten ?) und $T_\phi:=\overline{ \{x\in\mathbb{R}: \phi(x)\neq 0 \} }$ dessen kompakter Träger.
Seien $I_1,\ldots$ Intervalle der Form $I_i:=[a_i,b_i)$, wobei $ a_i < b_i$ und $I_i \cap I_j = \emptyset$ für $i \neq j$ und $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} I_i = \mathbb{R}$.
Definiere $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $I_i \ni x \mapsto c_i$, wobei $c_i \in \mathbb{R}$.
$\implies \int\limits_\mathbb{R} f d\lambda = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} c_i \lambda(I_i)= \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} c_i (b_i-a_i) < \infty$ ($f$ soll ja $\lambda$-integrierbar sein).
Ist das mal soweit okay? Ich würde hier eher keinen Wiederspruchsbeweis versuchen, sondern direkt:
$0 = \int\limits_\mathbb{R} f \phi d\lambda = \sum\limits_{i \in I} \int\limits_{I_i} f \phi d \lambda = \sum\limits_{i \in I} c_i \int\limits_{I_i} \phi d\lambda = \ldots$ , wobei $I := \{i \in \mathbb{N}:$ $\phi$ ist auf $I_i$ nicht gänzlich $0\}$
Jetzt fällt mir nix mehr ein. Bin ich da überhaupt auf dem richtigen Weg?
Also das Endargument wird ja dann vermutlich sein, dass sich integrierbare Funktionen durch Treppenfunktionen annähern lassen oder so.
Danke und bis bald, LG,
Paulster
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2227
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-14
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
durch ein anderes Argument kann man es auch direkt zeigen. Sei $f\in L^1(\mathbb R)$ und $\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)$ nichtnegativ mit
$$
\int_{\mathbb R} \phi\dd\lambda =1.
$$
Für $n\in \mathbb N$ betrachte $\phi_n\colon \mathbb R\to \mathbb R$ gegeben durch $\phi_n(x)=n\phi(nx)$ und überlege dir, dass $\phi_n*f$ in $L^1(\mathbb R)$ gegen $f$ konvergiert. (Mit "$*$" ist die Faltung gemeint).
Betrachte dann für festes $y\in \mathbb R$ die Funktion $g_{y,n}\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ g_{y,n}(x)=\phi_n(x-y)$. Überlege dir, dass $g_{y,n}\in C^\infty_c(\mathbb R)$ gilt.
Nach Voraussetzung gilt dann
$$
(\phi_n*f)(y)=\int_{\mathbb R} g_{y,n}(x)\cdot f(x) \dd\lambda(x)=0.
$$
Nun ist
$$
\left|\int_{\mathbb R} \phi_n * f\dd\lambda-\int_{\mathbb R} f\dd\lambda \right|\leq \int_{\mathbb R} |\phi_n*f-f| \dd \lambda
$$
und mit $\phi_n*f\overset{L^1}{\to} f$ erhalten wir daraus
$$
\int_{\mathbb R} f\dd\lambda=\lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb R} \phi_n * f\dd\lambda=0.
$$
Hier sind natürlich noch ein paar Details zu füllen. Du kannst dir an dieser Stelle auch überlegen, dass man hier sogar zeigen kann, dass $f$ fast überall verschwindet (woraus sich natürlich insbesondere ergibt, dass das Integral über $f$ verschwindet).
LG Nico\(\endgroup\)
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paulster
Wenig Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-14
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Guten Morgen Nico,
danke für deine Antwort. Ich glaube fast, dass dein Ansatz der Gewollte ist, da wir erst kürzlich über approximative Einheiten bzw. Mollifier gesprochen haben.
Wir haben als Mollifier definiert eine Familie $(\eta_\delta)_\delta$von Funktionen $\eta_\delta:=\delta^{-n} \eta(\frac{1}{\delta}x)$, wobei
$\eta \in C_c^\infty$, supp($\eta$) $\subseteq \,\overline{B(0,1)}$ (abgeschlossene Einheitskugel),
$\eta(x) \geq 0$ und
$\int\limits_{\mathbb{R}^n} \eta \, d\lambda^n = 1$.
Sei $f \in L_1(\mathbb{R})$. In der VO haben wir bewiesen, dass $\lim\limits_{\delta \to 0} ||f-f * \eta_\delta||_1 = 0$, wobei $||\cdot||_1$ die $L_1$-Norm meint.
Definiere $g_{y,\delta}(x):=\eta_\delta(x-y)$.
Es ist $\eta_\delta(x):=\delta^{-1} \eta(\frac{1}{\delta}x) \subseteq \overline{B(0,\delta)} \implies \eta_\delta(x-y) = \delta^{-1} \eta(\frac{1}{\delta}(x-y)) \subseteq \overline{B(y,\delta)}$ (oder ?) und
klarerweise sind die Ableitungen weiterhin stetig. Damit ist $g_{y,\delta} \in C_c^\infty$.
Nach VS. ist $(\eta_\delta * f)(y) := \int\limits_{\mathbb{R}} g_{y,\delta}(x)f(x) d\lambda(x) = 0$
$\implies \int\limits_{\mathbb{R}}f d\lambda = \lim\limits_{\delta \to 0} \int\limits_{\mathbb{R}} \eta_\delta * f d\lambda = 0$.
Also für mich würde das so passen, oder hab ich was übersehen oder fehlt was ?
Danke für den Tipp mit der approximativen Einheit, das finde ich nachvollziehbarer :)
Verschwindet $f$ nicht fast überall, weil man bei $L_p$-Räumen immer nur Repräsentanten betrachtet ?
Danke für die Hilfe und bis bald, schönes Wochenende :) LG,
Paulster
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2227
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-14
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
aus $\int f=0$ kann man im Allgemeinen mitnichten schließen, dass $f=0$ fast überall gilt. Man betrachte zum Beispiel $f=\sin$ auf $[0,2\pi]$.
Allerdings haben wir in diesem Fall $\phi_n*f\to f$ in $L^1$. Konvergenz in $L^1$ impliziert die Konvergenz nach Maß und mit dem Lemma von Borel-Cantelli kann man dann zeigen, dass es eine Teilfolge von $(\phi_n*f)_n$ gibt, die punktweise fast überall gegen $f$ konvergiert. Da $\phi_n*f\equiv 0$ für alle $n$ gilt, folgt daraus, dass $f=0$ fast überall gelten muss.
Ich wollte dir damit nur sagen, dass man aus den gegebenen Voraussetzungen auch die stärkere Aussage "$f=0$ fast überall" folgern kann. Wenn man nur $\int f=0$ folgern will, dann kann einem das eigentlich egal sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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paulster
Wenig Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
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Wohnort: Wien
|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-14
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Hallo Nico,
danke für deine Antwort. Mein Fehler, natürlich kann man das noch nicht einfach so folgern.
Deine Ausführungen sind nachvollziehbar und ich werde es mir merken, dankeschön :)
Vielen Dank für die Hilfe und bis dann, LG,
Paulster
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