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Mathematik » Numerik & Optimierung » Äquivalenz eines quadratischen Optimierungsproblems zeigen
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Universität/Hochschule J Äquivalenz eines quadratischen Optimierungsproblems zeigen
julian2000P
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  Themenstart: 2023-01-12

Hallo zusammen, ich komme momentan mit folgender Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann: Gegeben ist eine SPD Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ und zwei Vektoren $b, f \in \mathbb{R}^n$. Zum einen habe ich das Linear Complementarity Problem \[ (Aw - b) \cdot (w - f) = 0, \quad Aw-b \geq 0, \quad w -f \geq 0 \] und zum anderen das quadratische Optimierungsproblem: Finde $w \in M$ sodass \[ J(w) = \min_{v \in M}J(v), \quad \text{mit} \quad J(v) = \frac12 v^T Av -b^Tv \] und $M = \{v \in \mathbb{R}^n| v \geq f\}$. Die Ungleichungen sind immer komponentenweise zu verstehen und behauptet wird, dass die beiden Probleme äquivalent sind. Leider habe ich im Bereich Optimierung nicht so viel Erfahrung und mir fehlt bei der Aufgabe daher ein wirklicher Ansatz, durch schlichtes Umformen bin ich nicht weitergekommen. Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen Tipp oder Denkanstoß geben könnte, welchen Ansatz man hier am besten machen sollte. Grüße

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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-15

Hallo julian2000P, in Wikipedia Linear complementarity problem ab der Stelle "Also, a quadratic-programming problem stated as minimize..." wird der Hinweis "because the Karush–Kuhn–Tucker conditions" gegeben, falls dir das schon weiter hilft. Ich selber müsste jetzt auch rechnen rechnen rechnen... Viele Grüße, Stefan

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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16

Hallo Stefan, ja ich denke mit den Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sollte mir schon geholfen sein. Danke! Grüße

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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
julian2000P hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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