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  Epsilon-Delta-Kriterium Grundverständnis |
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marathon
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 |  Themenstart: 2023-01-12
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Hallo hier geht es um das Thema Stetigkeit bei einer abschnittswerise definierten Funktion die einfache Variante ist wohl die , dass man beide Funktionen die nahtlos ineinander übergehen sollen dergestalt auf Stetigkeit überprüft dass man den Kritischen x_0 Wert einsetzt aber wie würde ich mit dem epsilon delta Kriterium dies bewerkstelligen die erste Funktion ist recht simpel
für x < 0 soll gelten x^2 +2
für x > 0 soll gelten 0.5 x +2
nun soll x 0 sein natürlich super trivial das beides mal wenn eingesetzt wird 2 herauskommt aber reicht dies als formal hinreichend ausreichender
Beweis bzw wie geht man da mit dem epsilon delta Kriterium vor... also dies ist mir schon einleuchtend das delta bezieht sich auch den x Bereich und das Epsilon auf den f(x) Bereich also ich nehme ein x und ziehe davon ein gewähltes x0 ab so das der Absatnd kleiner wird als delta dann muss selbst bei extremer Skalierung das f(x) -f(x0) kleiner sein als das epsilon gut grau nist alle Theorie wie beweise ich dies aber hier im Umgesetzten!!!!
obwohl die angegebenen Funktionern ja schon noch sehr moderat sind.
Wie immer im Voraus 10000 Dank für gezeigte Großherzigkeit auf meine
dillitantischen Anfragen einzugehen Danke!!!
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marathon
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-13
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ich glaube insbesondere durch das \
x^2 bei x^2 +2 wird das etwas ekelhaft habe auf you tube einen epsilon delta Beweis für die Quadratische Funktion gesehen der schon etwas anstrengend aussah
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marathon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-13
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komme mit meinem über eby regional erstandenen Chromebook nicht klar bekomme da die Kopierfunktion nicht hin wollte doch noch ein Bildelement zum Thema hochladen
das Chromebook auch nur gekauft da es als Superschnäppchen angeboten wurde
trotzdem irgendwie wieder Geld verschwendet probiere es nochmal mit dem Bildelement strg +c und einfügern strg +v als nochmal....
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-01-12_23.44.58.png
scheint sogar gerklappt zu haben dieser Beweis bezog sich nur darauf das x^2 per se stetig ist und nicht in eine abschnittsweise definierten Funktion da wird das Ganze noch komplizierter fürchte ich leider
hier die ganze Vorstellung!!!!
und dieser Ansatz muss dann wohl in die abschnittsweise definierte Funktion Na dann Prost Mahlzeit::::
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-01-13_00.12.08.png
im Dschungelcamp der Mathematik...
und wer holt mich dieses mal r..aus..
Diophant... Louis.....aber das ist ja der Reiz daran!!!!
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luis52
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-13
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Deine Schwierigkeiten ruehren vermutlich daher, dass du die Aufgabenstellung sehr wirr aufschreibst. Ich meine, sie lautet wie folgt: Gegeben ist
\[f(x) =
\begin{cases}
x^2+2,& \text{$x<0$;} \\
2,& \text{$x=0$;} \\
\dfrac{x}{2}+2,& \text{$x>0$.}
\end{cases}
\]
Man zeige mittels des Epsilon-Deltakriteriums, dass $f$ stetig ist in $x_0=0$.
Zunaechst ist
\[|f(x)-f(x_0)| =|f(x)-2|=
\begin{cases}
x^2,& \text{$x<0$;} \\
0,& \text{$x=0$;} \\
\dfrac{|x|}{2},& \text{$x>0$.}
\end{cases}
\]
Waehle $\varepsilon>0$ beliebig. Gesucht ist $\delta=\delta(\varepsilon)$, so dass $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ gilt fuer alle $|x-x_0|=|x|<\delta$. Unterscheide die Faelle oben.
vg Luis
\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-14
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ich bin mir nicht ganz sicher was es bedeutet wie soll ich das epsilon
beliebgiwählen einfach als numerischen Wert z.B. 0.5 oder in Abhänigkeit von epsilon z.B. 1/3 epsilon
es wäre phantastisch diese Aufgabe exemplarisch demonstriert zu bekommen muss nachher im Internet nachschauen ob ich noch ein hilfreiches Script finde...
Bis morgen Gruß Markus
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luis52
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-14
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2023-01-14 00:17 - marathon in Beitrag No. 4)
es wäre phantastisch diese Aufgabe exemplarisch demonstriert zu bekommen
\quoteoff
Du willst die Loesung der Aufgabe einmal exemplarisch vorgefuehrt bekommen. Da du dir hiervon anscheinend ein naeheres Verstaendnis des Epsilon-Delta-Kriteriums verprichst, will ich das hier einmal tun.
Sei also $\varepsilon>0$ beliebig (klein) vorgegeben. Gesucht ist eine Zahl $\delta>0$, so dass gilt $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-2|<\varepsilon$ fuer jede Zahl $x\in\IR$ mit $|x-x_0|=|x|<\delta$.
(Gruebel, gruebel, Ueberlegungen ins Unreine ... )
Sei $\delta=\min\{1/2,\varepsilon\}$. Fuer jede Zahl $x<0$ mit $|x|<\delta$ ist dann $|x|<2\delta\le2\,\varepsilon\,\Rightarrow |f(x)-2|=|x/2|<\varepsilon$. Fuer jede Zahl $x\ge0$ mit $|x|<\delta\le1/2<1$ ist dann $|f(x)-2|=x^2<|x|<\delta\le\varepsilon$. Damit weist das obige $\delta$ die gewuenschten Eigenschaften auf.
Beachte, dass $\varepsilon$ eine beliebige erwuenschte Genauigkeit (oder Naehe) beschreibt, z.B. 0.0001, 0.000000034, usw. Die Argumentation gilt fuer jede Vorgabe.
Uebrigens ist mir das Epsilon-Delta-Kriterium vielfach zu sperrig. Ich bevorzuge das Folgenkriterium. Es besagt (vereinfacht), dass $f$ genau dann stetig ist in $x_0$, wenn die Folge $(f(x_n))$ gegen $f(x_0)$ konvergiert, und zwar fuer jede Folge $(x_n)$, welche gegen $x_0$ konvergiert. Das hat den Vorteil, dass man Grenzwersaetze fuer Folgen nutzen kann.
vg Luis
\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-14
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\quoteon(2023-01-14 00:17 - marathon in Beitrag No. 4)
ich bin mir nicht ganz sicher was es bedeutet wie soll ich das epsilon
beliebg wählen einfach als numerischen Wert z.B. 0.5 oder in Abhänigkeit von epsilon z.B. 1/3 epsilon
\quoteoff
Hallo,
nicht das $\epsilon$, sondern das \(\delta\) muss gewählt werden. Und das wird üblicherweise in Abhängigkeit von \(\epsilon\) und \(x_0\) gewählt.
Hier geht es ja um \(x_0=0\).
Man sieht, dass \(x^2<\frac{|x|}2\) für \(|x|<\frac12\).
Wähle \(\delta=\min\{\frac12,2\epsilon\}\). Für x mit \(|x-x_0|<\delta\) gilt dann \(|f(x)-f(x_0|<\) ...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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marathon
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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hallo Luis habe versucht mich selber innerhalb meiner grenz debilen Möglichkeiten noch etwas schlau zu machen und was ich gefunden habe
war in einem recht seriös wirkenden Beitrag Wikibooks über das Epsilon Delta Kriterium dass wir oder wer den Beweis auch immer aufstellen möchte
das
\
\delta in Abhänigkeit von x_0 und epsilon aber stets ohne x formuliert werden soll siehe Beitrag ist dies nun ein Fehler da ich bei dir ein x entdecke was ja nicht vorkommen soll warum eigentlich nicht
wie gesagt der gesichtete Vortrag in schriftlicher Form scheint mir recht solide kannst du helfen den Widerspruch aufzuklären.....
klar dies dort gesichtete Dokument scheint schon ziemliche hohe Anforderungen im Formalen lupenreinst zu bedienen
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-01-15_22.33.56.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-01-15_22.30.28.png
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luis52
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-15 22:36 - marathon in Beitrag No. 7)
wie gesagt der gesichtete Vortrag in schriftlicher Form scheint mir recht solide kannst du helfen den Widerspruch aufzuklären.....
\quoteoff
Welchen Widerspruch?
vg Luis
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marathon
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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derlta sollte sollte stets ohne x nur in Abhänigkeit nur von epsilon und x0 formuliert werden siehe Textpassage die ich eingefügt haber , ich weiß aber selber nicht warum auch in dem Video das die junge Dame uns auf you Tube über die Stetigkeit der Wurzel präsentiert heißt es das Wurzel x muss raus siehe Bildelement als ewiger Mathenovize irritiert mich dies zumal in deiner Argumentationskette das x bis zum Ende auftaucht oder sind dies nur quisquisilische Formalismen, die man auch mal übersehen kann aber in der Mathematik ist doch alles immer so super streng formal geregelt sonst hat es keinen axiomatischen Wert.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-01-16_23.25.14.png
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luis52
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-01-17
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Hallo marathon, im Themenstart hast du die Frage aufgeworfen, wie man Stetigkeit bei einer abschnittswerise definierten Funktion ... mit dem epsilon delta Kriterium ueberprueft. In Beitrag #3 habe ich die von dir angegebene Beispielsaufgabe explizit formuliert. Auf dein Bitten hin habe ich sie in Beitrag #5 nach bestem Wissen geloest. Auch StrgEntf deutet in Beitrag #6 einen aehnlichen Loesungsweg an.
In Beitrag #7 bittest du: kannst du helfen den Widerspruch aufzuklären ... Dabei und in Beitrag #9 beziehst du dich aber nicht mehr auf die urspruengliche Frage sondern auf einen Wiki-Book-Eintrag bzw. ein Youtube-Video, die jedoch nichts mit deiner Ausgangsfunktion zu tun haben. Einen Widerspruch in unseren Loesungen der von dir gestellten Aufgabe kann ich nach wie vor nicht erkennen.
Ich biege jetzt mal ab. Vielleicht koennen Hellsichtigere als ich dir weiterhelfen.
vg Luis
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marathon
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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ist mir absolut schleierhaft das klingt ein wenig wie eingeschnappt sorry in diesem Beiträgen heißt es nur es sollte nicht in Abhängigkeit von x
argumentiert werden...
siehe eingefügte Textpassage
Delta in Abhängigkeit von x0 und epsilon aber stets ohne x formulieren
ohne x formulieren ich sehe da schon einen Widerspruch warum die Leute sobald man etwas Kritik äußert immer gleich so kleinkariert reagieren????
es ist ja idiotisch es mit der Ausgangsfunktion gleichgestzt haben zu wollen im Kontradiktorischen hoffe ich artikuliere mich nicht zu kompliziert es geht eben nur um eine absolut konkludente Beweisführung un du scheinst eben mit dem x zu operieren aber vielleicht darf man dies formal ja doch
stichwort fair geht vor also bitte nicht eingeschnappt sein Danke!!!!
Mfg Markus
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hanna01
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-01-18
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Das x darf nur an der Stelle in deinem Beweis nicht auftauchen, wo du delta festlegst. Das steht in deinem Artikel auch genau so. Und das tut es hier auch nicht, es hängt nur von epsilon ab, wie gewünscht. Wenn du dann die Definition nachrechnst, taucht x natürlich wieder auf und das darf es auch. Nur delta darf nicht von x abhängen. Ist also alles korrekt. Wenn immer noch was unklar ist, dann zitier doch bitte die genaue Stelle.
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marathon
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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das epsilon bezieht sich ja auf die f(x) Werte das Delta auf den
x Bereich stetig ist auch für mich Hornochse selber nochmal
verdeutlicht
wenn ich also den x Abstand zwischen x und dem Xo so wählen kann
dass dieser immer kleiner sein wird als ein noch so klein taxiertes
Delta auf der x Achse dann folgt stringent das auch auf der f(x) Achse
das f(xo)-f(x) immer kleiner sein wird als das epsilon das in dem Video
mit dem Beweis der Stetigkeit für x^2 hab ich gerafft aber bei der Aufgabe werden ja zwei abschnittsweise definierte Funktionen Miteinander verglichen
da bin ich noch nicht ganz durch....
an geeigneter stelle ein x0 addieren und subtrahieren dann wird wieder ein
x-x0 erzeugt was dann wieder durch delta ersetzt werden kann in der Abschätzung und dann das definierte delta mit 1 austauschen und dann hat man die Lösung eigentlich hergeleitet
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_epsilon_d_xquadrat_stetig.JPG
aber bei meiner Aufgabe
x^2 +2 stetig bei 2 mit linearer Funktion 0.5 x+2 mit epsilon delta
muss es mir nachher nochmal zu Gemüte führe melde mich dann nochmals...
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