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| Autor |
 Hausdorffmaß von einem Durchschnitt von Mengen |
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paulster
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Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-01-14
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Guten Abend,
ich bin nun nach den approximativen Einheiten beim Hausdorffmaß.
Ich hab jetzt hier mal ein Beispiel rausgesucht, und zwar
$A_0=[0,1]$, $A_n:=\{0,\frac{2}{5},\frac{4}{5}\} + \frac{1}{5}A_{n-1}$ und die Aufgabe ist die Berechnung des Hausdorffmaßes von $A:=\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}}A_n$.
Nun bin ich mir nicht ganz sicher wie ich am geschicktesten das Hausdorffmaß davon berechnen soll mithilfe der Definition, da die sehr unhandlich ist. Wenn ich die ersten paar Folgenglieder skizziere, dann hätte ich auf die Schnelle gesagt, dass die Dimension $\frac{4}{25}$ ist, aber das geht doch sicher auch mathematischer oder?
Wenn hier wer einen Ansatz oder eine Idee hat würd ich mich freuen. Danke schonmal und schönen Abend noch, LG,
Paulster
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-15
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
so etwas wie "das" Hausdorff-Maß gibt es nicht. Es gibt zu jeder reellen Zahl $0\leq s<\infty$ das $s$-dimensionale Hausdorff-Maß $\mathcal H^s$.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die rekursive Definition der $A_n$ richtig verstehe. Was bedeutet das "$+$" hier konkret? Soll das eine disjunkte Vereinigung sein, oder elementweise Addition?
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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paulster
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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Hallo Nico,
zunächst danke ich dir für deine Antwort.
Das "+" ist als disjunkte Vereinigung aufzufassen.
Ja das stimmt natürlich, ich gehe davon aus, dass wohl das Hausdorffmaß $\mathcal H^s$ für "jenes" $s$ gemeint ist, für das $\mathcal H^s(\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}}A_n)$ einen endlichen Wert ($\neq 0$) hat, sofern so ein $s$ existiert.
Soweit ich verstanden habe, wäre nämlich in dem Fall für jedes $t>s$ das Hausdorffmaß $\mathcal H^t(\cdot) = 0$ und für jedes $m
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paulster
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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Hallo nochmal,
also das mit der disjunkten Vereinigung war wohl doch Blödsinn.
Das $+$ ist so aufzufassen dass:
$A_0 = [0,1]$
$A_1=\{0,\frac{2}{5},\frac{4}{5}\} + \frac{1}{5}A_0 = [0,\frac{1}{5}] \cup [\frac{2}{5},\frac{3}{5}] \cup [\frac{4}{5},1]$
und weiter
$A_n = \{0,\frac{2}{5},\frac{1}{5}\} + \frac{1}{5}A_{n-1}$
Um das Hausdorffmaß von $A:=\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}}A_n$ zu berechnen, müssen wir ja zuerst das $s$ (also die Dimension) kennen. Wenn mich nicht alles täuscht verhält sich diese Struktur fraktal und hat Dimension $s=\frac{ln(3)}{ln(5)}$, was man auch durch Abschätzen mithilfe der Definition bekommt.
Unsere Definition des Hausdorffmaßes lautet: $\mathcal{H}^s_\delta(A):=\omega_s \inf\left\{\sum\limits_{i=1}^\infty \left(\frac{diam(C_i)}{2} \right)^s : diam(C_i) \leq \delta, \bigcup\limits_{i=1}^\infty \supseteq A \right\}$ mit $\omega_s = \frac{\Gamma(1/2)^s}{\Gamma(1+s/2)}$.
Damit ist dann $\mathcal{H}^s(A) := \lim\limits_{\delta \to 0} \mathcal{H}^s_\delta(A)$.
Jetzt geht es darum, $\mathcal{H}^s(A)$ zu berechnen. Meine Idee wäre nun:
Nach n Schritten haben wir ja $3^n$ Linien mit Länge $5^{-n}$. Dann könnten wir nach oben abschätzen: ($s$ ist jetzt schon bekannt, nur ist es keine schöne Zahl zum Einsetzen)
$\mathcal{H}^s_{\frac{1}{5^n}}(A) \leq \omega_s \, 3^n (diam(\frac{A_1}{5^n})\frac{1}{2})^s = \omega_s (\frac{3}{5^s})^n (\frac{1}{2})^s$.
Der Faktor in der Mitte fällt aufgrund von $s$ weg und dann haben wir
$\mathcal{H}^s(A) = \omega_s (\frac{1}{2})^s$ mit dem $s$ von oben. Stimmt das so ?
Also ich bin mir nicht sicher, weil es ja eigentlich nur eine Abschätzung nach oben ist, andererseits lassen wir ja das $n$ immer größer werden und somit die Überdeckungen immer kleiner und mit dem passenden $s$ kommt halt auch ein echter Wert raus :)
Über andere Ideen und Kommentare würde ich mich freuen, danke und bis dann, LG,
Paulster
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-24
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Okay, also ist das $+$ wohl doch als elementweise Addition zu verstehen.
Wenn $D\subseteq \mathbb R^n$ eine abgeschlossene Menge ist, dann nennen wir eine Abbildung $S\colon D\to D$ eine Selbstähnlichkeitsabbildung, wenn es ein $00$. Auf diese Weise kann man formal die Hausdorff-Dimension solcher selbstähnlicher Mengen bestimmen.
LG Nico\(\endgroup\)
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paulster
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24
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Hallo Nico,
vielen Dank für deine Ausführung. Also soweit kann ich glaub ich folgen.
Auf dieser Weise bestimmen wir also das $s$ bzw. begründen es auf saubere Weise.
Aber jetzt müsste ich ja noch $\mathcal{H}^s(A)$ berechnen, oder ist das bereits durch die Dimension gegeben ?
Danke und LG,
Paulster
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nzimme10
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-24
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Man bekommt durch diese Betrachtungen auch noch die Information, dass $\mathcal H^s(A)=\mathcal H^s_\delta(A)$ für jedes $\delta>0$ (vorausgesetzt, $A$ ist so eine Menge wie das $F$).
Es reicht daher, $\mathcal H^s_\delta(A)$ für ein beliebiges $\delta>0$ zu bestimmen.
Edit: Wenn du da formal weiterkommen willst, dann müsstest du dir also mal die Mühe machen und versuchen, für $A$ die relevanten Abbildungen $S_j$ und Verhältnisse $c_j$ zu finden. Für die klassische Cantormenge sind das zum Beispiel die beiden Abbildungen $S_1(x)=\frac 13x$ und $S_2(x)=S_1(x)+\frac 23$.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-24
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Vielleicht lohnt sich auch mal ein Blick in das Buch "The Geometry of Fractal Sets" von K. J. Falconer. Insbesondere Theorem 1.14 und 1.15. Seine Definition des Hausdorff-Maßes unterscheidet sich zwar minimal von deiner, aber das sollte nicht so dramatisch sein.
LG Nico
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paulster
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24
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Hey Nico,
das ist eine gute Idee, ich werd gleich schauen wo ich das finde.
Vielleicht versteh ich das Ganze dann besser.
Ah richtig, daran hab ich garnicht gedacht. Es ist nur, selbst wenn ich ein $\delta >0$ beliebig wählen kann, hab ich immer noch die unhandliche Definition die ich benutzen muss oder nicht ?... andererseits kann es ja sein, dass hier garkein Zahlenwert rauskommen soll vielleicht.
LG, Paulster
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