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| Autor |
  Volumenform und Spatprodukt |
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TryingToUnderstand
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2023-01-16
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Erstmal ein Hallo an alle,
Heute habe ich eine Aufgabe, bei der mir eine Darstellung etwas Schwierigkeiten bereitet (siehe Bild im Anhang)
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55955_Screenshot_20230116_105014_Drive.jpg
Explizit geht es um: [latex] dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge dx^{3}(a,b,c) [/latex] wie ist das als
Produkt darzustellen ? Einfach in Vektordarstellung ?
Danke schonmal für eure Hilfe
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
gegeben Vektoren $a=a^je_j$, $b=b^je_j$ und $c=c^je_j$ (Summationskonvention) in der Standardbasis $(e_1,e_2,e_3)$, so ist zunächst
$$
\begin{align*}
\d x^1\wedge\d x^2\wedge \d x^3(a,b,c) &=\d x^1\wedge\d x^2\wedge \d x^3(a^ie_i,b^je_j,c^ke_k) \\
&=a^ib^jc^k\d x^1\wedge\d x^2\wedge \d x^3(e_i,e_j,e_k).
\end{align*}
$$
Es kommt nun ein bisschen auf die konkrete Definition von $\wedge$ an - da gibt es unterschiedliche Konventionen. Die (meiner Meinung nach) "richtige" Definition liefert hier
$$
\d x^1\wedge\d x^2\wedge \d x^3(e_i,e_j,e_k)=\det(e_i \mid e_j \mid e_k)=\varepsilon_{ijk}.
$$
Am besten solltest du aber einfach mal nach eurer Definition von $\wedge$ schauen.
LG Nico\(\endgroup\)
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TryingToUnderstand
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Vielen Dank für die Antwort (vor allem so kurz aber doch aussagekräftig :D)
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