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  Verallgemeinerter Satz von Stokes Beweis |
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TryingToUnderstand
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2023-01-16
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Zuallererst ein Hallo an euch,
Da mir im Moment etwas die Zeit davonläuft, weil ich die Aufgabe morgen abgeben soll, wollte ich euch um (möglichst schnelle) Hilfe bitten bei einer Aufgabe, bei der es um den Beweis des verallgemeinerten Satzes von Stokes geht. Sie geht wie folgt:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55955_2_Unbenannt.PNG
Während ich die a) relativ gut hinbekommen habe, haperts bei der b) noch etwas, was die Formulierung und die Ansätze angeht.
Ich bedanke mich für jede Antwort oder Hilfestellung :D
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
eigentlich sollte man auf der linken Seite von (1)
$$
\int_{\partial C_p} \iota^*(\omega_{p-1})
$$
schreiben, wobei $\iota\colon \partial C_p\hookrightarrow C_p$ die Inklusion ist. Der Pullback entlang der Inklusion ist aber genau $\omega_{p-1}|_{\partial C_p}$.
Nun ist bei b)
$$
\partial C_2 =\bigcup_{k=1}^4 \partial C_{2,k},
$$
wobei
$$
\partial C_{2,1}=[0,1]\times \lbrace 0\rbrace, \ \partial C_{2,2}=\lbrace 1\rbrace\times [0,1]
$$
etc. (die Kanten des Einheitsquadrats eben). Dir ist gegeben, dass $v=y\dd x$ und mit den Hinweisen ist dann zum Beispiel
$$
v|_{\partial C_{2,1}}=(y \dd x)|_{\partial C_{2,1}}, \ v|_{\partial C_{2,2}}=0.
$$
Analog für die beiden anderen Randstücke. Nun ist
$$
\int_{\partial C_2} v=\sum_{k=1}^4 \int_{\partial C_{2,k}} v|_{\partial C_{2,k}}.
$$
Zum Beispiel ist
$$
\int_{\partial C_{2,1}}v|_{\partial C_{2,1}}=\int_{\partial C_{2,1}}(y \dd x)|_{\partial C_{2,1}}
$$
und mit dem Hinweis ganz unten solltest du das nun berechnen können. Wiederhole das für die anderen Randstücke.
LG Nico\(\endgroup\)
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TryingToUnderstand
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2022
Mitteilungen: 50
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Perfekt, dass hat sehr geholfen. Ich hab mich im Indexdschungel irgendwie verirrt. Vielen Dank für deine Hilfe
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TryingToUnderstand hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TryingToUnderstand hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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