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Analysis » Stetigkeit » f(x+y)<= f(x)+f(y) stetig im Nullpunkt => stetig in R
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Universität/Hochschule f(x+y)<= f(x)+f(y) stetig im Nullpunkt => stetig in R
Erdbeere99
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  Themenstart: 2023-01-16

Es sei f: \IR->\IR eine Funktion mit f(0)=1 und f(x+y)<=f(x)*f(y) für alle x\el\IR . Zeige: Ist f im Nullpunkt stetig, so ist f auf ganz \IR stetig. Voraussetzung__: f ist in 0 stetig<=> Für jedes \e>0 existiert ein \d>0 mit abs(f(x)-f(0))<\e für abs(x)<\d Behauptung__: f ist in y\el\IR stetig Für jedes \e>0 existiert ein \d>0 mit abs(f(y+x)-f(y))<\e für abs(x)<\d Wenn man die Funktionsgleichung einsetzt, kommt ja dann sowas raus wie abs(f(y)f(x)-f(y))<=abs(f(y)) abs(f(x)-1) < abs(f(y))\e Kann das dann so stehen bleiben oder muss man noch irgendwie das abs(f(y)) wegbekommen?

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-16

Tipp: Starte mit $\varepsilon / |f(y)|$.

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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-16

Hallo, du hast diese Frage bereits in einem alten (aber dazu passenden Thread) gestellt und dich dort auch auf frühere Antworten bezogen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=21956 Bitte erstelle in diesem Fall in Zukunft nicht einen neuen Thread. LG Nico [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Stetigkeit' von nzimme10]

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Erdbeere99
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16

\quoteon(2023-01-16 22:08 - Triceratops in Beitrag No. 1) Tipp: Starte mit $\varepsilon / |f(y)|$. \quoteoff Kann man das so einfach? Ich hätte das jetzt auch spontan gemacht, nur wird ja im schlimmsten Fall das f(y) sehr klein

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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-16

Das $y$ ist fest. Du willst die Stetigkeit in $y$ prüfen.

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Erdbeere99 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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