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  Erwartungswert Normalverteilung mit einer e-Funktion |
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Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2023-01-17
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Hallo,
ich habe Probleme bei den folgenden Erwartungswerten:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_Hilfe_Final3.JPG
Ich weiß, dass aus X~ N(\mue,\sigma^2)
folgt, dass X den Erwartungswert \mue und Varianz \sigma^2 besitzt. Es gilt
0<\mue<\inf bzw. 0<\sigma^2<\inf
Zu berechnen ist E[e^X]
Ich weiß, dass aus X~ N(\mue,\sigma^2)
folgt, dass X den Erwartungswert \mue und Varianz \sigma^2 besitzt. Es gilt
0<\mue<\inf bzw. 0<\sigma^2<\inf
Zu berechnen ist E[e^X]
Eigentlich sind doch bestimmt nur ein paar rechenregeln für EWs zu benutzen, aber ich kann es mir nicht zusammenreimen. Muss ich erstmal argumentieren, dass e^X eine ZV ist ? Ich bin für jeden Ansatz / Lösung dankbar
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 Profil
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 915
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-17
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2023-01-17 12:17 - Sekorita im Themenstart)
Eigentlich sind doch bestimmt nur ein paar rechenregeln für EWs zu benutzen, aber ich kann es mir nicht zusammenreimen.
\quoteoff
Nein, nein, so einfach ist die Chose nicht. Zu bestimmen ist
\[\operatorname{E}[\exp(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(x)f(x)\,dx\,.\]
Google mal normal distribution moment generating function.
vg Luis\(\endgroup\)
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Gesucht ist ja
E[e^X], wobei X eine normalverteilte ZV ist mit X~N(\mue,\sigma^2)
E[e^X] = int(exp(x)*f(x),x,-\inf ,+\inf )
= int(exp(x)* (1/(sqrt(2*\pi*(\sigma)^2))*exp((-(x-\mue)^2)/(2*\sigma^2))),x,-\inf ,+\inf )
(Substitution mit z=(x-\mue)/\sigma => x= z*\sigma+\mue)
=> exp(\mue)*int(exp(z*\sigma)*(1/(sqrt(2*\pi*(\sigma)^2))*exp(-1/2*z^2) * dx/dz) ,z,-\inf ,\inf )
wobei mit dx/dz=\sigma folgt:
exp(\mue)*int(exp(z*\sigma)*(1/(sqrt(2*\pi*(\sigma)^2))*exp(-1/2*z^2) * dx/dz) ,z,-\inf ,\inf )
= exp(\mue)*int(exp(z*\sigma)*(1/(sqrt(2*\pi))*exp(-1/2*z^2)) ,z,-\inf ,\inf )
Analog zum Fall bei einer standard-normalverteilten ZV
=exp(\mue) * exp(1/2*\sigma^2)
=exp(\mue + (\sigma^2)/2)
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 915
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-17
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Mag sein. Den analogen Fall zur SNV habe ich nicht parat.
vg Luis
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Der wurde bei uns im Skript vermert, deswegen hoffe ich mal das es so ausreicht, danke Dir :)
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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