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| Autor |
  Gleichmäßige Konvergenz von beschränkten Funktionenfolgen |
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jlk
Junior 
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-01-17
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Mich beschäftigt die letzten Tage das Thema Konvergenz (punktförmig, gleichmäßig) von Funktionsfolgen und Reihen. Ich habe bereits gezeigt, dass wenn fn(x) beschränkt ist (|fn(x)|≤M) auch die Grenzfunktion f beschränkt sein muss.
Ich komme allerdings nicht ganz weiter bei folgender Frage: Es sind gegeben zwei Funktionsreihen (fn, hn) die beide auf D (Def-Bereich) gleichmäßig konvergent sind. Es soll gezeigt werden, dass wenn diese zudem beschränkt sind fn*gn auch gleichmäßig konvergiert.
Ich habe versucht mit:
|fn(x)-f(x)|< ε. ∀n≥n1 ∀x∈D
|gn(x)-g(x)|< ε. ∀n≥n2 ∀x∈D
|fn(x)|≤M
|hn(x)|≤M
|f(x)|≤M
|h(x)|≤M , mit M ist Schranke von f,h,hn,fn
zu zeigen:
|fn(x)*hn(x)-f(x)*h(x)|< ε. ∀n≥n0 ∀x∈D
Dabei waren aber die Abschätzungen nicht zielführend oder zu groß.
Für Tipps bin ich sehr dankbar 😃.
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
hier könnte es hilfreich sein, eine Null zu addieren. Damit meine ich konkret
$$
\begin{align*}
|f_n(x)h_n(x)-f(x)h(x)| &=|f_n(x)h_n(x)\overbrace{\color{red}{-f(x)h_n(x)+f(x)h_n(x)}}^{= \, 0}-f(x)h(x)| \\
&\leq |f_n(x)h_n(x)-f(x)h_n(x)|+|f(x)h_n(x)-f(x)h(x)| \\
&=|h_n(x)|\cdot|f_n(x)-f(x)|+|f(x)|\cdot |h_n(x)-h(x)|.
\end{align*}
$$
Kommst du damit ans Ziel?
P.S.: Es wäre gut, wenn du $\LaTeX$ oder den Formeleditor verwenden würdest.
LG Nico
\(\endgroup\)
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Profil
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jlk
Junior
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Hallo Nico,
Ja damit komme ich ans Ziel dankeschön.
P.S: Ich habe mich leider noch nicht so intensiv mit Latex beschäftigt aber ich versuche beim nächsten mal die Formeln etwas sauberer zu editieren.
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Profil
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jlk hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
jlk hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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