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  Beweis homogenes LGS hat genau eine Fundamentallösung |
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Gustavo1208
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 |  Themenstart: 2023-01-17
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Hi, Ich habe folgendes Problem:
Gegeben einen Körper K. Seien v,w Spalten aus \(K^{3}\) die Linear unabhängig voneinander sind.
A ist gegeben durch A := \(\begin{pmatrix} v^{T}\\w^{T} \end{pmatrix}\) element \(K^{2x3}\).
Nun möchte ich basierend darauf beweisen, dass das homogene LGS A*x = 0 genau eine Fundamentallösung, n element \(K^{3}\), hat. (Ich habe bereits bewiesen das Die Matrix Rang 2 haben muss)
Das heißt die Basis des Kerns der durch die Matrix induzierte Abbildung enthält einen Vektor.
Mir fehlt nun leider etwas der Ansatz um das zu zeigen. Wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
du hast bewiesen, dass $\opn{Rang}(A)=2$ gilt. Was folgt daraus, mit der Dimensionsformel, für den Kern der Matrix?
LG Nico\(\endgroup\)
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Gustavo1208
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Oh.
Da ja Rang(A) = dim(Bild(A)) = 2 gilt, würde mit mit dim(\(K^{3}\)) = dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) folgen, dass dim(Kern(A)) = 1 ist.
(Meinten Sie das so?)
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Was ist denn $\dim(A)$? Auf der linken Seite sollte wohl eher $\dim(K^3)$ stehen, oder?
LG Nico\(\endgroup\)
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Gustavo1208
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Habe es oben geändert. Meinten Sie das so?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-17
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Ja, genau so sieht die Dimensionsformel in diesem Fall aus.
Damit bist du doch nun fertig. Der Kern besitzt die Dimension 1.
LG Nico
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Gustavo1208
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-17
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Oh man das war ja wohl die Definition von "den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen".
Vielen Dank.
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