| Autor |
 Erzeugende Funktion und Cauchy-Produkt |
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skorp58
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 |  Themenstart: 2023-01-18
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Die Rekursion \( a_n = a_{n-1} \cdot \dfrac{2n-1}{2(n+1)} \) mit \( a_0= \dfrac{1 }{2} \) soll mit Hilfe der erzeugenden Funktion \( f=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^{n }\) in eine explizite Form für \( a_n \) gebracht werden.
Nach Umformen erhält man die Summe
\( f= x \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{2n}{(n+2)} \cdot x^{n } + x \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{1}{(n+2)} \cdot x^{n } \)
Lässt sich hier bei den einzelnen Summanden bezüglich \( \dfrac{2n}{(n+2)} \) bzw. \( \dfrac{1}{(n+2)} \) die Cauchy Produktformel anwenden?
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Wauzi
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-18
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Hallo,
der naheliegende Weg ist, das Ganze zu vereinfachen (der erste der Summanden bietet sich an) und dann eine geeignete Differentialgleichung aufzustellen.
Bei dem ersten Summand würde ich im Zähler 4 addieren und wieder abziehen.
Warum man allerdings nicht gleich nur eine Summe statt der angegeben zwei betrachtet erschließt sich mir nicht
Gruß Wauzi
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ochen
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-18
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Hi :)
Ich würde es vielleicht auch auf zwei Summen aufteilen.
Die Rekursion lässt sich vereinfachen zu
\[ a_n = a_{n-1} \cdot \dfrac{2n-1}{2(n+1)} =a_{n-1} \cdot \dfrac{2(n+1)-3}{2(n+1)} =a_{n-1} \cdot \left(1-\dfrac{3}{2(n+1)} \right)\]
Wir erhalten also
\[
\begin{align*}
f&=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}x^n\\
&=\frac 12+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n }\\
&=\frac 12+\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+1}- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n }\\
&=\frac 12+xf- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n }\\
(1-x) f &=\frac 12- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n }
\end{align*}
\]
Danach können wir mit x multiplizieren und ableiten:
\[
\begin{align*}
(1-x)xf &=\frac 12x- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n+1}\\
\frac{d}{dx}((1-x)xf) &=\frac 12- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n-1}\cdot x^{n}\\
\frac{d}{dx}((1-x)xf) &=\frac 12- \dfrac{3}{2} xf
\end{align*}
\]
So richtig elegant ist der Weg aber nicht.
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skorp58
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-19
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Danke, das sieht sehr gut aus!
Ich sehe auf der rechten Seite der Gleichung
\( (1-f)f= \dfrac{1}{2}- \dfrac{3}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n }\)
die Summe
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n-1}}{n+1} \cdot x^{n} \)
Könnte man hier durch Indexverschiebung etwas erreichen?
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{n+2} \cdot x^{n+1} = x \cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{n+2} \cdot x^{n}\)
\( x \cdot ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}) \cdot ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n+2} ) \)
Wäre nicht theoretisch so ein Produkt möglich, wenn \( \dfrac{1}{n+2} \) konvergiert?
(siehe auch das Ende meiner eigentlichen Fragestellung oben)
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Wauzi
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-19
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\quoteon(2023-01-19 10:02 - skorp58 in Beitrag No. 3)
Wäre nicht theoretisch so ein Produkt möglich, wenn \( \dfrac{1}{n+2} \) konvergiert?
\quoteoff
Das tut es aber nicht
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Wauzi
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-19
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Ist die Berechnung mit erzeugenden Funktionen wirklich vorgeschrieben?
Anders ist die Berechnung nämlich ziemlich trivial.
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skorp58
Aktiv
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Danke für die Antwort.
Die triviale Variante würde mich jetzt schon interessieren.
Frage:
Wieso konvergiert eigentlich \( \dfrac{1}{(n+2)} \) nicht?
Müsste nicht der Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{(n+2)} = 0 \) sein ?
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ochen
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-20
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Hallo,
es geht um die Reihe $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+2}$. Diese konvergiert nicht.
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Wauzi
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 09:34 - skorp58 in Beitrag No. 6)
Danke für die Antwort.
Die triviale Variante würde mich jetzt schon interessieren.
\quoteoff
Teile deine Rekursionsgleichung durch a_(n-1)
Dann steht links a_n/a_(n-1) und rechts ein nur von n abhängiger Ausdruck, also etwas explizites.
Betrachte jetzt produkt(a_k/a_(k-1),k=1,n)
Dann steht links etwas sehr einfaches und rechts ein längeres Produkt.
Dieses Produkt kannst Du entweder in 2er-Potenzen und Fakultäten vereinfachen oder durch geeignetes Ausklammern in einen Binomialkoeffizient umwandeln. Letztere Darstellung ergibt dann auch die gesuchte Funktion, diesmal ohne Differentialgleichung.
Gruß Wauzi
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