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 Koordinatenmatrizen bzgl. kanonischer Basis |
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bat20
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 |  Themenstart: 2023-01-20
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Gegeben sei eine Basis B = (b1, b2, b3) von R3×1 mit
b1 = (3,2,1)^T, b2=(2, 2 ,1)^T, b3=(1,1,1)^T
Weiters sei f ∈ GL(R3×1) gegeben durch b1 → b2, b2 → b3, b3 → b1.
(a) Bestimme für die kanonische Basis E die Koordinatenmatrizen 〈E∗, f (E)〉 und 〈E∗, f^3 (E)〉 sowie
deren Determinanten.
(b) Zeige: f, f3 ∈ SL(R3×1) einmal mit Hilfe der Matrizen aus (a) und dann noch einmal mit Hilfe der
Koordinatenmatrizen 〈B∗, f (B)〉 und 〈B∗, f^3 (B)〉
Ich hätte zu (a) eine Frage und zwar auf was die einzelnen Basisvektoren von E abbilden. Sprich was ergibt zbsp f(e_1) damit ich es als LK darstellen kann?. Und die zweite Frage ist was genau f^3 bedeuten soll?
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thureduehrsen
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2023-01-20 11:41 - bat20 im Themenstart)
Und die zweite Frage ist was genau f^3 bedeuten soll?
\quoteoff
Es ist \(f^3\) die dreifache Hintereinanderausführung von \(f\),\[
f^3 = f\circ f\circ f
\]
Wiederhole die Grundlagen!
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Diophant
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
noch als Zusatz:
\quoteon(2023-01-20 11:41 - bat20 im Themenstart)
...Sprich was ergibt zbsp f(e_1) damit ich es als LK darstellen kann?...
\quoteoff
Ich denke, das ist der falsche Weg. Stelle die Abbildung zunächst bzgl. der Basis \(B\) dar, und transformiere anschließend (per Basiswechselmatrix) in die kanonische Basis.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Wie soll man das aber genau koordinatisieren? f^3 hat als Input (e1,e2,e3) und bildet auf (f(e1),f(e2),f(e3))ab. Das ist ja dann ein Vektor, der aus 3 Teilvektoren besteht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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bat20
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@Diophant Meinst du 〈B∗, f (E)〉?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ich versuche meine Verständnisschwierigkeiten mal möglichst eloquent in Worte zu fassen:
Hääääääääääääääääääää?
Dass \(f\) den Vektor \((\mathrm{e}_1,\,\mathrm{e}_2,\,\mathrm{e}_3)\) auf debn Vektor \((f(\mathrm{e}_1),\,f(\mathrm{e}_2),\,f(\mathrm{e}_3))\) abbildet, ist doch irgendein Teilschritt in einer komplexen Argumentation, die du bisher aber nicht durchführst?
mfg
thureduehrsen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Ja das ist mein Problem. Woher soll ich eben wissen, worauf f(E) abbildet? Normalerweise ist das ja definiert. Ich hab das nur für die Basis B definiert. (b1-->b2, b2-->b3, b3-->b1)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-20
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Weißt du, was eine lineare Fortsetzung ist?
mfg
thureduehrsen
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bat20
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@thureduehrsen Ja schon, das Prinzip davon besagt im Grunde, dass jede lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt ist.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Wunderbar.
Stelle also einen Vektor der Standardbasis als Linearkombination der Vektoren aus \(B\) dar.
Siehe auch Beitrag No. 2.
mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Bsp der erste Vektor: (1,0,0)^T= 1*(3,2,1)^T-1*(2,2,1)^T+0*(1,1,1)^T
Und wenn man das mit den anderen Vektoren macht erhält man halt die Koordinatenmatrix
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thureduehrsen
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ja. Jetzt schreibe das von A bis Z sauber auf.
Und nutze bitte \(\LaTeX\), dann kann man es besser lesen.
Anstelle von
\quoteon(2023-01-20 14:40 - bat20 in Beitrag No. 10)
Bsp der erste Vektor: (1,0,0)^T= 1*(3,2,1)^T-1*(2,2,1)^T+0*(1,1,1)^T
\quoteoff
kannst du dies hier
\[
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = 1\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\]
erzeugen, indem du dies hier
\sourceon MP-Forumsbeitragstexteingabe
\[
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =
1\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}
-1\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}
+0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\]
\sourceoff
eingibst.
Nachdem du dann also alle drei Vektoren der Standardbasis als Linearkombination in der Basis B dargestellt hast, musst du genau was tun, um die Koordinatenmatrix zu erhalten?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@thureduehrsen
\[
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =
1\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}
-1\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}
+0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} =
-1\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}
+2\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}
-1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} =
0\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}
-1\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}
+2\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\]
Ich schreibe die einzelnen Skalare Spaltenweise in eine Matrix um meine Koordinatenmatrix zu erhalten.
$\left( \begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 \\
\end{array}\right)$
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bat20
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Und jetzt kann man die Inverse bestimmen, damit der Basiswechsel stattfindet. Damit hätte ich es dann koordinatisiert nach der Basis E. Und ist 〈E∗, f^3 (E)〉 nicht einfach diesselbe Matrix 3 Mal multipliziert, nur als Vermutung?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 15:40 - bat20 in Beitrag No. 13)
Und ist 〈E∗, f^3 (E)〉 nicht einfach diesselbe Matrix 3 Mal multipliziert, nur als Vermutung?
\quoteoff
Frage nicht mich. Frage deinen Stift und dein Papier und fange an zu rechnen.
Und beschreibe mal in Worten, was 〈E∗, f^3 (E)〉 eigentlich sein soll. Ich kenne diese Notation nicht.
mfg
thureduehrsen
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 15:40 - bat20 in Beitrag No. 13)
Und jetzt kann man die Inverse bestimmen...
\quoteoff
Ja, mache das. Und dann vergleichst du diese Inverse am besten einmal mit der Aufgabenstellung. Wenn du richtig gerechnet hast wirst du feststellen: diese Inverse kennst du bereits...
Gruß, Diophant
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bat20
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@Diophant ok, ich hab jetzt mehrmals nachgerechnet und komm auf Folgendes
$\left( \begin{array}{rrr}
-0,7 & -0,3 & 0,1 \\
-0,3 & 0,3 & -0,1 \\
0,1 & -0,1 & -0,3 \\
\end{array}\right)$
Bekannt kommt diese mir nicht gerade vor
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Diophant
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-20 16:10 - bat20 in Beitrag No. 16)
@Diophant ok, ich hab jetzt mehrmals nachgerechnet und komm auf Folgendes
$\left( \begin{array}{rrr}
-0,7 & -0,3 & 0,1 \\
-0,3 & 0,3 & -0,1 \\
0,1 & -0,1 & -0,3 \\
\end{array}\right)$
Bekannt kommt diese mir nicht gerade vor
\quoteoff
Das ist auch falsch. Rechne nochmal nach...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Ok, da habe ich die Basisvektoren von B. Diese entsprechen, also meiner Koordinatenmatrix 〈E*,B〉
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Diophant
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 16:54 - bat20 in Beitrag No. 18)
Ok, da habe ich die Basisvektoren von B. Diese entsprechen, also meiner Koordinatenmatrix 〈E*,B〉
\quoteoff
Wenn du damit die Basiswechselmatrix für den Basiswechsel von B nach E meinst: dann ja.
Jetzt musst du aber noch die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f bzgl. der Basis B aufstellen und diese dann mit Hilfe der berechneten Basiswechselmatrix in die kanonische Basis E transformieren.
Versuche doch einmal, nicht so kleinschrittig zu arbeiten sondern an so eine Erkenntnis wie hier den einen oder anderen (eigenständigen) Versuch anzuschließen, weiterzukommen. Das wäre in deinem eigenen Interesse, weil es deinen Aufwand hier signifikant verringern würde.
Gruß, Diophant
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bat20
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Ich versuche es, auch , wenn es nicht leicht ist. Ok habe die erste Koordinatenmatrix berechnet. Die Frage bzgl der Koordinatenmatrix mit f^3 steht halt leider noch im Raum.
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Diophant
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 17:42 - bat20 in Beitrag No. 20)
Ich versuche es, auch , wenn es nicht leicht ist. Ok habe die erste Koordinatenmatrix berechnet.
\quoteoff
Nein, die hast du noch nicht. Du hast die Basiswechselmatrix für den Basiswechsel von B nach E berechnet (und mit der Inversen davon, die du zuerst via Linearkombination aufgestellt hattest, auch für den umgekehrten Basiswechsel).
Die "Koordinatenmatrix", damit meinst du doch die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f? Und die hast du noch nicht, weder in der einen, noch in der anderen Basis.
\quoteon(2023-01-20 17:42 - bat20 in Beitrag No. 20)
Die Frage bzgl der Koordinatenmatrix mit f^3 steht halt leider noch im Raum.
\quoteoff
Nein: die hat dir thueduehrsen bereits in Beitrag #1 beantwortet. Falls du nicht weißt, wie man lineare Abbildungen miteinander verknüpft: durch Multiplikation der Darstellungsmatrizen...
Gruß, Diophant
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bat20
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@Diophant Also 〈B∗, f (E)〉 ist meine Darstellungsmatrix, die soll ich ja bestimmen und dann erhalte ich mit meiner Basiswechselmatrix die gewünschte Koordinatenmatrix.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-01-20
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Hier Rhodos, hier springe!
mfg
thureduehrsen
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Diophant
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-01-20
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-20 18:15 - bat20 in Beitrag No. 22)
@Diophant Also 〈B∗, f (E)〉 ist meine Darstellungsmatrix...
\quoteoff
Nein. Bestimme \(\langle B*,f(B)\rangle\). Das geht direkt aus den angegebenen Bildern der Basisvektoren, die du bisher nirgends verwendet hast. Und dann kommt die Basiswechselmatrix ins Spiel, um diese Darstellungsmatrix umzurechnen in \(\langle E*,f(E)\rangle\), also die Darstellungsmatrix für die gleiche lineare Abbildung, jetzt aber bezüglich der kanonischen Basis \(E\).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]\(\endgroup\)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.25, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Erkläre bitte mal die Schreibweise mit den Klammern \(\langle\,\rangle\).
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Diophant
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| Beitrag No.26, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-20 18:43 - thureduehrsen in Beitrag No. 25)
Erkläre bitte mal die Schreibweise mit den Klammern \(\langle\,\rangle\).
\quoteoff
Ja, das wäre gut. Ich habe das ehrlich gesagt auch nur übernommen, ohne dass ich die Schreibweise kenne (ich kann nur raten...).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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@thureduehrsen Bilder der Basisvektoren (rechts stehend innerhalb der Klammer) koordinatisiert nach Basis B (links stehend innerhalb der Klammer). Die Bilder dargestellt durch die Basisvektoren aus B. Ich frag mich nur wie ich das genau bei 〈B∗, f (B)〉 bestimme. Bsp: f(b_1)= b_2, und dies dann dargestellt durch die Basisvektoren?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.25 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-20 18:58 - bat20 in Beitrag No. 27)
@thureduehrsen Bilder der Basisvektoren (rechts stehend innerhalb der Klammer) koordinatisiert nach Basis B (links stehend innerhalb der Klammer). Die Bilder dargestellt durch die Basisvektoren aus B. Ich frag mich nur wie ich das genau bei 〈B∗, f (B)〉 bestimme. Bsp: f(b_1)= b_2, und dies dann dargestellt durch die Basisvektoren?
\quoteoff
Wie würde das denn gehen, wenn die Angaben im Themenstart hinsichtlich der Basis \(E\) gegeben wären? Wenn man also \(f(e_1)=e_2,\ f(e_2)=e_3\) und \(f(e_3)=e_1\) hätte? Es ist doch völlig egal, um welche Basis es geht: solange Urbild und Bild in derselben Basis ausgedrückt werden, funktioniert das unabhängig von der konkreten Basis immer gleich.
Du weißt schon, wie für eine lineare Abbildung die Bilder der Basisvektoren und die Spalten ihrer Darstellungsmatrix zusammenhängen?...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.29, eingetragen 2023-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2023-01-20 18:58 - bat20 in Beitrag No. 27)
@thureduehrsen Bilder der Basisvektoren (rechts stehend innerhalb der Klammer) koordinatisiert nach Basis B (links stehend innerhalb der Klammer).
\quoteoff
Was ist Koordinatisieren???
\quoteon Die Bilder dargestellt durch die Basisvektoren aus B.
\quoteoff
Hmmm. Ist "Koordinatisieren" das Darstellen eines Bildvektors als Linearkombination von Vektoren aus B?
\quoteon Ich frag mich nur wie ich das genau bei 〈B∗, f (B)〉 bestimme. Bsp: f(b_1)= b_2, und dies dann dargestellt durch die Basisvektoren?
\quoteoff
Du stolperst über deine eigenen Füße.
\[
b_2 = 0\cdot b_1 + 1\cdot b_2 + 0\cdot b_3\quad?
\]
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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| bat20 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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