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  Widerspruchsbeweis: stetige Funktion, Urbild nicht abgeschlossen |
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Farbspiel
Aktiv 
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2023-01-21
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Hi,
in einem Satz, den ich beweisen will, geht es um eine stetige Funktion $f:(X,d) \to (\{0,1\},d_{\text{diskret}})$. $X$ ist eine offene Menge.
Das ist die gegebenen Voraussetzung, dann habe ich eine Widerspruchsannahme zur Aussage im Satz gemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Aufgrund von weiteren Bedingungen ist klar, dass aus meiner Widerspruchsannahme folgt, dass das Urbild $f^{-1}(\{0,1\})=X$ sein muss.
Nun ist $\{0,1\}$ eine abgeschlossene Menge und $X$ offen. Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit von $f$, da bei stetigen Funktionen das Urbild von beliebigen abgeschlossenen Mengen, wieder abgeschlossen ist.
Habe ich diese Eigenschaft korrekt genutzt?
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 Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46764
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-21
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\quoteon(2023-01-21 17:25 - Farbspiel im Themenstart)
Habe ich diese Eigenschaft korrekt genutzt?
\quoteoff
Hi Farbspiel,
nein. Für einen beliebigen topologischen Raum ist die Trägermenge X sowohl offen als auch abgeschlossen. Du nimmst aber an, dass sie nicht abgeschlossen wäre.
Gruß Buri
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Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
du hast hier keinen Widerspruch erzeugt. Eine Aussage wie "$X$ ist offen" oder "$\lbrace 0,1\rbrace$ ist abgeschlossen" ist eigentlich zu ungenau.
Diese Begriffe beziehen sich stets auf eine Topologie (bzw. auf eine Metrik, eine Norm, ein Skalarprodukt etc.).
Im metrischen Raum $(X,d)$ ist die Grundmenge $X$ offen bezüglich der Metrik $d$, aber ebenso abgeschlossen bzgl. $d$. Ebenso ist $\lbrace 0,1\rbrace$ im metrischen Raum $(\lbrace 0,1\rbrace,d_{\mathrm{diskret}})$ offen bzgl. $d_{\mathrm{diskret}}$ als auch abgeschlossen bzgl. $d_{\mathrm{diskret}}$.
LG Nico
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Farbspiel
Aktiv 
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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Danke an euch beide :)
$X$ ist offen und abgeschlossen:
Sei $a\in X$ beliebig. Sei $r >0$ beliebig, dann ist per Definition $U_{r}(a)=\{x\in X| d(x,a)
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Farbspiel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Farbspiel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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