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| Autor |
  Dualraum/Lineare Abbildungen |
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Tom2177
Aktiv 
Dabei seit: 25.11.2022
Mitteilungen: 28
 |  Themenstart: 2023-01-21
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Hallo,
habe folgende Aufgabe zu lösen:
(bei (a) steh ich an einem Punkt an und bei meiner Lösung zu B bin ich etwas unsicher)
Seien V,W zwei K-Vektorräume und sei h \el\ Hom(V,W). Zeigen Sie:
(a) im(h^T) \supersetequal\ { f \el\ V^* : ker(h) \subsetequal\ ker(f) }
(b) h^T ist injektiv <=> h surjektiv
hier mein Ansatz zu (b):
"=>": Sei h beliebig so, dass h^T injektiv ist.
Seien (b_1,...,b_n) und ((b_1)^*,..., (b_n)^*) Basen von W und vom zu W gehörenden Dualraum.
Angenommen h ist nicht surjektiv, dann gilt:
\exists\ w \el\ W \forall\ v \el\ V: h(v) != w
Wähle w = b_1.
Dann gilt für folgende Funktionen
((w_1)^*) : W -> K, ((w_1)^*)(w):= (b_1)^*
((w_2)^*) : W -> K, ((w_2)^*)(w):= 0
h^T(((w_1)^*)) = h^T(((w_2)^*)) aber ((w_1)^*) != ((w_2)^*) im Widerspruch zur Injektivität von h^T.
andere Richtung:
Sei h beliebig so, dass h surjektiv ist.
Seien ((w_1)^*), ((w_2)^*) \el\ (W^*) beliebig mit h^T(((w_1)^*)) = h^T(((w_2)^*)).
Es gilt:
((w_1)^*) \circ\ h = ((w_2)^*) \circ\ h
Weil h surjektiv ist sind alle Elemente von W im Bild von h und somit werden über die Verkettung alle Bilder von ((w_1)^*) und ((w_2)^*) angenommen. Daher muss ((w_1)^*) = ((w_2)^*) folgen.
Habe versucht die erste Richtung von B per Kontraposition zu zeigen, ein direkter Ansatz zu dem Problem wäre auf jeden Fall interessant falls jemand eine Idee hätte.
Zu (a) würde ich mich sehr über ein paar Tipps freuen.
LG
Thomas
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
man kann bei solchen Aufgaben eigentlich nicht "keinen Ansatz" haben. Wenn einem gar nichts einfällt, dann muss man sich erstmal klarmachen, was dort überhaupt steht, d.h. die Definitionen nachschlagen etc. Siehe auch: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Dann ist hier eine Inklusion von Mengen zu zeigen. Das macht man eigentlich immer so (weil es so definiert ist), dass man ein beliebiges Element der einen Menge nimmt und zeigt, dass es auch in der anderen liegen muss.
Beginne also mal damit, die Definition von $\opn{im}(h^T)$ hinzuschreiben. Vereinfache auch die andere Menge. Starte dann mit einem beliebigen Element der rechten Menge und schreibe genau auf, welche Eigenschaft(en) dieses Element daher besitzen muss etc.
LG Nico\(\endgroup\)
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Tom2177
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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\quoteon(2023-01-21 23:16 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
man kann bei solchen Aufgaben eigentlich nicht "keinen Ansatz" haben. Wenn einem gar nichts einfällt, dann muss man sich erstmal klarmachen, was dort überhaupt steht, d.h. die Definitionen nachschlagen etc. Siehe auch: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Dann ist hier eine Inklusion von Mengen zu zeigen. Das macht man eigentlich immer so (weil es so definiert ist), dass man ein beliebiges Element der einen Menge nimmt und zeigt, dass es auch in der anderen liegen muss.
Beginne also mal damit, die Definition von $\opn{im}(h^T)$ hinzuschreiben. Vereinfache auch die andere Menge. Starte dann mit einem beliebigen Element der rechten Menge und schreibe genau auf, welche Eigenschaft(en) dieses Element daher besitzen muss etc.
LG Nico
\quoteoff
Hallo, die Grundlagen vom Beweisen sind mir durchaus klar. Bei Aufgabe (a) steht man in einer Beweissituation mit Existenzquantor als Beweisziel und muss sich für das beliebige Element der zweiten Menge ein Urbild von h^T suchen. Wie man zu diesem Element gelangt ist mir unklar.
Ist mein Ansatz zu (b) soweit verständlich?
LG Thomas
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Zu zeigen ist:
$$
\lbrace f\in V^*\mid \ker(h)\subseteq \ker(f)\rbrace\subseteq \opn{im}(h^T).
$$
Weiter ist nach Definition
$$
\opn{im}(h^T)=\lbrace f\in V^*\mid \exists \varphi \in W^*: f=\varphi\circ h\rbrace.
$$
Starten wir mit $f\in V^*$ derart, dass $\ker(h)\subseteq \ker(f)$ gilt. Nach dem Homomorphiesatz haben wir
$$
V\overset \pi\longrightarrow V/\ker(h) \overset \Phi\longrightarrow \opn{im}(h),
$$
wobei $\pi$ die kanonische Projektion und $\Phi$ ein Isomorphismus ist. Wegen $\ker(h)\subseteq \ker(f)$ haben wir auch eine Faktorisierung von $f$:
$$
V\overset \pi\longrightarrow V/\ker(h) \overset \Psi\longrightarrow K,
$$
wobei $K$ der zugrundeliegende Körper ist. Das liefert uns insgesamt
$$
f=\Psi\circ \pi=\Psi\circ(\Phi^{-1}\circ h)=(\Psi\circ \Phi^{-1})\circ h.
$$
Nun sollte es nicht mehr weit sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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Tom2177 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Tom2177 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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