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| Autor |
 Querschnittsfläche eines (Abwasser-)Kanals maximieren |
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ilai_3004
Neu 
Dabei seit: 22.01.2023
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2023-01-22
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Hallo, ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe (die gibt es zwar im Forum, doch leider brachte mich das auch nicht weiter).
Ein rundum gemauerter unterirdischer Abwasserkanal in Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis (Gesamtumfang 5m) soll wegen der günstigeren Strömungsverhältnisse einen möglichst großen Querschnitt haben. Welche Abmessungen sind zu wählen?
Leider weiß ich nicht genau was ich machen soll, da wir das Thema🙁🙁 nicht wirklich besprochen hatten.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-22
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Stelle eine Zielfunktion für den Querschnitt in Abhängigkeit bspw. der Breite des Kanals auf. Dabei musst du als Nebenbedingung verwenden, dass der Gesamtumfang gleich 5m sein soll.
Entsprechende Musteraufgaben kannst du mit Sicherheit deinem Schulbuch entnehmen!
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Extremwertaufgaben' von Diophant]
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ilai_3004
Neu
Dabei seit: 22.01.2023
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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Hallo,
ja, Beispiele sind bei uns im Schulbuch vorhanden, leider kam ich damit nicht wirklich weiter.
Ich damit die Nebenbedingung 2\pi r^2+2rxh
aber naja wer weiß ob ich damit richtig liege.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-01-22 22:45 - ilai_3004 in Beitrag No. 2)
Ich damit die Nebenbedingung 2\pi r^2+2rxh
aber naja wer weiß ob ich damit richtig liege.
\quoteoff
Die Nebenbedingung muss eine Gleichung sein, und der Term ist in jedem Fall falsch, da er offensichtlich eine Fläche beschreibt.
Benennen wir einmal die Breite des Kanals mit \(b=2x\). Dann ist \(x\) gleichzeitig der Radius des Halbkreisbogens. Die zwei senkrechten geraden Stücke nennen wir einmal \(y\).
Dann muss für den Umfang des Kanals folgende Gleichung gelten:
\[U=2x+2y+\underbrace{\pi\cdot x}_{\text{Umfang}\\ \text{Halbkreis}}=5\on{m}\]
Das ist die Nebenbedingung. Diese Gleichung löst du zunächst nach \(y\) auf.
Für die fragliche Fläche des Kanals gilt:
\[A=2x\cdot y+\underbrace{\frac{\pi}{2}\cdot x^2}_{\text{Fläche}\\ \text{Halbkreis}}\]
Wenn du in diese Gleichung noch die nach \(y\) aufgelöste Nebenbedingung einsetzt, dann hast du eine Funktion für die Querschnittsfläche in Abhängigkeit von der halben Breite \(x\) des Kanals.
Und auf diese Funktion kannst du dann die Differentialrechnung loslassen, um ihr Maximum zu bestimmen.
PS: generell ist es hier so, dass wir keine fertigen Lösungen geben sondern schon erwarten, dass eigenständige Versuche unternommen werden. Tipps dazu geben wir gerne und freuen uns auch immer sehr, wenn wir als Reaktion eine komplette Rechnung samt Ergebnis zu sehen bekommen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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ilai_3004
Neu
Dabei seit: 22.01.2023
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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vielen lieben Dank, und tut mir leid war neu hier im Forum
2x * (-x-\pix/2-2,5) + \pi/2 * x^2
Das hatte ich jetzt raus, nach dem ich hoffentlich richtig nach y aufgelöst habe und eingesetzt.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-01-22 23:19 - ilai_3004 in Beitrag No. 4)
vielen lieben Dank, und tut mir leid war neu hier im Forum
2x * (-x-\pix/2-2,5) + \pi/2 * x^2
Das hatte ich jetzt raus, nach dem ich hoffentlich richtig nach y aufgelöst habe und eingesetzt.
\quoteoff
Das stimmt fast. Das Vorzeichen vor den 2,5 ist noch falsch (prüfe es nochmal nach!)
Man kann das nun noch zusammenfassen und sollte es als Funktion schreiben:
\[\ba
A(x)&=2x\cdot\left(-x-\frac{\pi}{2}x+2.5\right)+\frac{\pi}{2}x^2\\
\\
&=5x-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)x^2
\ea\]
Und jetzt kannst du durch Ableiten nach x und das übliche Prozedere das Maximum für die Querschnittsfläche ausrechnen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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ilai_3004
Neu
Dabei seit: 22.01.2023
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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Ok, vielen lieben Dank, du hast mir wirklich geholfen. ich werde das dann morgen zu ende Rechnen und dir dann hoffentlich mal das richtige Ergebnis posten. 😃
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