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| Autor |
  Elementarmatrizen Multiplikation |
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Gasius
Junior 
Dabei seit: 23.01.2023
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-01-23
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Ich habe mit dieser Aufgabe besondere Schwierigkeiten, kann mir jemand helfen? Ich habe keinen Lösungsansatz bisher. Hier ist die Aufgabe:
Bestimmen Sie mithilfe von Elementarmatrizen für die Matrix
A := (1,2,0;2,2,1)\el\ M(2X3,\IR) Matrizen S \el\ GL(2,\IR), T \el\ GL(3,\IR) so dass SAT^(-1)=(1,0,0;0,1,0) gilt.
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3542
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-23
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Führe entsprechende elementare Zeilen- und dann Spaltenoperationen durch, um die Matrix in die geforderte Form zu bringen. Wie korrespondieren elementere Zeilen- und Spaltenoperationen mit Elementarmatrizen? Das wirst du ggf. in deinen Unterlagen nachlesen müssen.
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Gasius
Junior
Dabei seit: 23.01.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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\quoteon(2023-01-23 18:09 - ligning in Beitrag No. 1)
Führe entsprechende elementare Zeilen- und dann Spaltenoperationen durch, um die Matrix in die geforderte Form zu bringen. Wie korrespondieren elementere Zeilen- und Spaltenoperationen mit Elementarmatrizen? Das wirst du ggf. in deinen Unterlagen nachlesen müssen.
\quoteoff
Den Gedanken hatte ich prinzipiell auch schon, was mich bei der Aufgabe aber am meisten stört ist, dass man T rechts und S links an A multiplizieren muss und dass man das inverse von T benutzen muss. Wie komme ich dann überhaupt auf T? Und wie funktioniert das mit dem rechts dran multiplizieren?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Schreibe doch erstmal sauber alle Schritte als Zeilen- bzw. Spaltenumformungen auf. Mit den Zeilenumformungen (ich benötige hier nur eine) bekommst du direkt die Matrix \(S\), mit den Spaltenumformungen lässt sich die Matrix \(T^{-1}\) direkt bestimmen. Letztere musst du dann im Sinne der Aufgabenstellung noch invertieren.
Siehe dazu auch den entsprechenden Wikipedia-Artikel.
\quoteon(2023-01-23 18:41 - Gasius in Beitrag No. 2)
Und wie funktioniert das mit dem rechts dran multiplizieren?
\quoteoff
Hm, wie so eine Matrixmultiplikation eben funktioniert?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Gasius
Junior
Dabei seit: 23.01.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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\quoteon(2023-01-23 18:52 - Diophant in Beitrag No. 3)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Schreibe doch erstmal sauber alle Schritte als Zeilen- bzw. Spaltenumformungen auf. Mit den Zeilenumformungen (ich benötige hier nur eine) bekommst du direkt die Matrix \(S\), mit den Spaltenumformungen lässt sich die Matrix \(T^{-1}\) direkt bestimmen. Letztere musst du dann im Sinne der Aufgabenstellung noch invertieren.
Siehe dazu auch den entsprechenden Wikipedia-Artikel.
\quoteon(2023-01-23 18:41 - Gasius in Beitrag No. 2)
Und wie funktioniert das mit dem rechts dran multiplizieren?
\quoteoff
Hm, wie so eine Matrixmultiplikation eben funktioniert?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Vielen Dank für die Hilfe, aber ich stehe irgendwie immernoch auf dem Schlauch, könnte man mir vielleicht einen größeren Tipp geben?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-23 20:33 - Gasius in Beitrag No. 4)
Vielen Dank für die Hilfe, aber ich stehe irgendwie immernoch auf dem Schlauch, könnte man mir vielleicht einen größeren Tipp geben?
\quoteoff
Warum formst du nicht die Matrix \(A\) Schritt für Schritt um, so lange, bis sie die gewünschte Form hat?
Und notierst dir dabei jeden einzelnen Schritt und postest diese Schritte hier.
Und dann erklärst du am besten einmal, woran es hier eigentlich hakt. Hast du dich mittlerweile über die Wirkung von Elementarmatrizen schlau gemacht? Falls ja: dann müsstest du jetzt in der Lage sein, jeden deiner Schritte in Form einer Elementarmatrix hinzuschreiben. Diese Matrizen muss man dann noch ggf. miteinander multiplizieren (sofern es mehrere Zeilen- bzw. Spaltenoperationen sind). Dabei auf die Reihenfolge achten!
Es wurde nämlich jetzt schon mehrfach geschildert, wie man die Aufgabe angeht. Es ist von deiner Seite her aber bisher völlig unklar geblieben, was dir daran nicht klar ist.
Also: fange an, forme die Matrix um und beschreibe uns die einzelnen Schritte.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Gasius
Junior
Dabei seit: 23.01.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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Ich weiß, wie das mit den Elementarmatrizen funnktioniert, aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man auf die gesuchte Matrix mithilfe von Zeilen- und Spaltenumformungen kommt. S habe ich (denke ich) herausgefunden mit dieser Umformung:
(1,2,0;2,2,1) II'= II - 2I -> (1,2,0;0,-2,1)
Aber von hier weiß ich nicht, wie ich auf die gesuchte Matrix
(1,0,0;0,1,0)
komme.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-23 20:56 - Gasius in Beitrag No. 6)
Ich weiß, wie das mit den Elementarmatrizen funnktioniert, aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man auf die gesuchte Matrix mithilfe von Zeilen- und Spaltenumformungen kommt. S habe ich (denke ich) herausgefunden mit dieser Umformung:
(1,2,0;2,2,1) II'= II - 2I -> (1,2,0;0,-2,1)
\quoteoff
Die Umformung ist sinnvoll (so habe ich auch angefangen). Schön und gut: warum schreibst du dann die zugehörige Elementarmatrix hier nicht mit hin, wenn du doch weißt, wie das funktioniert?
Die gute Nachricht ist nämlich:
\quoteon(2023-01-23 20:56 - Gasius in Beitrag No. 6)
Aber von hier weiß ich nicht, wie ich auf die gesuchte Matrix
(1,0,0;0,1,0)
\quoteoff
Ab jetzt benötigst du noch genau drei Spaltenumformungen. Bedeutet: Wenn du jetzt einfach mal Nägel mit Köpfen machen würdest, dann hättest du die Matrix \(S\) bereits.
Hast du dir deine Unterlagen oder die in #3 verlinkte Wikipediaseite angesehen, dahingehend, wie man mit Elementarmatrizen Spaltenumformungen realisiert?
Falls nein: dann hole das nach.
Falls ja: dann überlege dir die drei wirklich naheliegenden Spaltenumformungen, die es jetzt noch braucht und bestimme damit direkt die Matrix \(T^{-1}\). Wie, habe ich oben schon geschrieben, und bei Wikipedia steht es auch.
\showon Spoiler:
Es braucht jetzt noch
- einen Spaltentausch
- zweimal das Addieren des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte.
\showoff
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Gasius
Junior
Dabei seit: 23.01.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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Vielen Dank für die Hilfe und Geduld, ich habe die Aufgabe jetzt (glaube ich) gelöst mit dem letzten Tipp.
S = (1,0;-2,1)
T^(-1) = (1,0,-2;0,0,1;0,1,2)
T = (1,2,0;0,-2,1;0,1,0)
Sieht das richtig aus?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-23
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\quoteon(2023-01-23 21:35 - Gasius in Beitrag No. 8)
Vielen Dank für die Hilfe und Geduld, ich habe die Aufgabe jetzt (glaube ich) gelöst mit dem letzten Tipp.
S = (1,0;-2,1)
T^(-1) = (1,0,-2;0,0,1;0,1,2)
T = (1,2,0;0,-2,1;0,1,0)
Sieht das richtig aus?
\quoteoff
Ja, das passt. 👍
Gruß, Diophant
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