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 Nicht-lineare Funktionale |
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Simon_St2
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 |  Themenstart: 2023-01-24
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Hallo,
ich arbeite mich gerade in das Thema der Funktionale ein. Hierbei ist ein Funktional eine Funktion höherer Ordnung, welche Funktionen auf Zahlen abbildet.
Lineare Funktionale können meines Wissens stets über Vektorräume dargestellt werden, wobei das Funktional einen Vektor auf einen Skalar abbildet. Diese Vektoren können selbst Funktionen sein.
Aber was ist ein Beispiel für ein nicht-lineares Funktional?
Mich interessiert auch die Visualisierbarkeit von Funktionalen. Können alle linearen Funktionale visualisiert werden, nicht-lineare Funktionale aber nicht?
Viele Grüße,
Simon
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-24
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\quoteon(2023-01-24 15:07 - Simon_St2 im Themenstart)
Aber was ist ein Beispiel für ein nicht-lineares Funktional?
\quoteoff
Kennst du Beispiele für nicht-lineare Funktionen? Vielleicht findest du so selbst ein Beispiel für ein solches Funktional.
(In der Tat gibt es nicht-lineare Funktionalanalysis als eigenes Forschungsgebiet; siehe hier für weiterführende Literatur.)
\quoteon(2023-01-24 15:07 - Simon_St2 im Themenstart)
Mich interessiert auch die Visualisierbarkeit von Funktionalen.
\quoteoff
Was verstehst du genau unter "Visualisierung"?
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionalanalysis' von PhysikRabe]
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Wally
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Simin_St2,
ein einfaches Beispiel wäre \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\), \( f(x)=\langle x,x,\rangle\)
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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PhysikRabe
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-24
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\quoteon(2023-01-24 18:18 - Wally in Beitrag No. 2)
ein einfaches Beispiel wäre \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\), \( f(x)=\langle x,x,\rangle\)
\quoteoff
... was übrigens genau meinem Hinweis folgt, denn $x \mapsto \|x\|^2$ entspricht in meinem Tipp der quadratischen Funktion, die ja bekanntlich nicht-linear ist. Du kannst dir auf ähnliche Weise weitere Beispiele überlegen. Allgemeiner ist für jeden normierten Raum $(V,\|\cdot\|)$ bereits die Normabbildung $V\ni v \mapsto \|v\|$ selbst nicht-linear (Stichwort Dreiecksungleichung). Und natürlich ist jede nicht-lineare Funktion $\mathbb R \to \mathbb R$ auch ein nicht-lineares Funktional.
Ich kenne deinen fachlichen Hintergrund nicht, aber als Randbemerkung: Nicht-lineare Funktionale sind nicht nur in der Mathematik ubiquitär, sondern treten auch häufig z.B. in der Physik auf. Ein prominentes Beispiel ist das Wirkungsfunktional einer Feldkonfiguration, z.B. $S[q] = \int_a^b L(q,\dot{q})\,\mathrm{d}t$ für einen Pfad $[a,b]\ni t\mapsto q(t)$ im Konfigurationsraum einer klassischen Theorie mit Lagrangefunktion $L$.
Grüße,
PhysikRabe
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Simon_St2
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25
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ein einfaches Beispiel wäre \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\), \( f(x)=\langle x,x,\rangle\)
Das ist genau mein Problem. Alle Beispiele, die ich sehe sind nicht-lineare Funktionen und keine nicht-lineare Funktionale. Die oben angegebene Funktion bildet aus dem R hoch 2 in R ab. Wahrscheinlich ist es so, dass Funktionen auch Funktionale sind, aber ich würde gerne ein Beispiel sehen, wo man nicht-linear aus einem Funktionsraum in die Zahlen abbildet.
Ein prominentes Beispiel ist das Wirkungsfunktional einer Feldkonfiguration, z.B. $S[q] = \int_a^b L(q,\dot{q})\,\mathrm{d}t$ für einen Pfad $[a,b]\ni t\mapsto q(t)$ im Konfigurationsraum einer klassischen Theorie mit Lagrangefunktion $L$.
Ich denke du betrachtest klassische Physik mit klassischen Teilbahnen, zwischen denen vll noch Kräfte wirken. Ist das Wirkungsfunktional S wirklich nicht-linear? Ich dachte das Wirkungsfunktional wäre ein lineares Funktional.
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Wally
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Aber eine Verallgemeinerung liegt doch dann auf der Hand:
\( L: C([0,1])\to \mathbb{R}\), \( L(f)=\int_0^1 |f(t)|^2\, dt\)
oder \( L(f)=f(1)^2\) oder \( L(f)=\sin (f(0.5))\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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PhysikRabe
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-25
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\quoteon(2023-01-25 09:59 - Simon_St2 in Beitrag No. 4)
Das ist genau mein Problem. Alle Beispiele, die ich sehe sind nicht-lineare Funktionen und keine nicht-lineare Funktionale.
\quoteoff
Diese Aussage ergibt keinen Sinn, denn das sind sehr wohl Funktionale. Was du möchtest ist ein Beispiel für ein Funktional auf einem Raum von Funktionen. Siehe dafür Wallys Beispiele, oder auch das, was ich geschrieben habe:
\quoteon(2023-01-24 18:53 - PhysikRabe in Beitrag No. 3)
Allgemeiner ist für jeden normierten Raum $(V,\|\cdot\|)$ bereits die Normabbildung $V\ni v \mapsto \|v\|$ selbst nicht-linear (Stichwort Dreiecksungleichung).
\quoteoff
$(V,\|\cdot\|)$ kann hier ein beliebiger normierter Funktionenraum sein, z.B. der normierte Raum $(C_{\mathrm b}(X),\|\cdot\|_{\mathrm{sup}})$ der beschränkten Funktionen $X\to\mathbb R$ auf einer Menge $X$.
\quoteon(2023-01-25 09:59 - Simon_St2 in Beitrag No. 4)
Ich denke du betrachtest klassische Physik mit klassischen Teilbahnen, zwischen denen vll noch Kräfte wirken.
\quoteoff
Nicht notwendigerweise. Der Formalismus ist viel allgemeiner.
\quoteon(2023-01-25 09:59 - Simon_St2 in Beitrag No. 4)
Ist das Wirkungsfunktional S wirklich nicht-linear? Ich dachte das Wirkungsfunktional wäre ein lineares Funktional.
\quoteoff
Keineswegs. Bereits für ein freies Teilchen (also in verschwindendem Potential) der Masse $m$ mit Bahnkurve $q$ ist die kinetische Energie und damit $L=\frac{m}{2} \dot{q}^2$ nicht-linear in $q$. Für weitere Beispiele siehe z.B. hier; die Lagrange-Funktionen sind allesamt nicht-linear, also auch $S$ als Funktional der Bahnkurve $q$.
Grüße,
PhysikRabe
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Simon_St2
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25
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OK. Ich muss erstmal verstehen, was die Linearitätsbedingung für Funktionale bedeutet. Betrachten wir das Funktional S:
$S[q] = \int_a^b L(q,\dot{q})\,\mathrm{d}t$ für einen Pfad $[a,b]\ni t\mapsto q(t)$
welches die Bahnkurve q(t) auf eine reelle Zahl abbildet. Heißt linear dann das c*S[q(t)]=S[c*q(t)] gilt?
Ich dachte eigentlich, dass die Wirkungsfunktionale der Physik immer linear sind. Trifft das auf die Quantenmechanik zu, dass hier das Wirkungsfunktional linear ist?
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PhysikRabe
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-25
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\quoteon(2023-01-25 13:31 - Simon_St2 in Beitrag No. 7)
OK. Ich muss erstmal verstehen, was die Linearitätsbedingung für Funktionale bedeutet. Betrachten wir das Funktional S:
$S[q] = \int_a^b L(q,\dot{q})\,\mathrm{d}t$ für einen Pfad $[a,b]\ni t\mapsto q(t)$
welches die Bahnkurve q(t) auf eine reelle Zahl abbildet. Heißt linear dann das c*S[q(t)]=S[c*q(t)] gilt?
\quoteoff
Nein, und das ist jetzt auch keine Frage der Physik. Linearität bedeutet, dass $S[q_1 + cq_2]=S[q_1]+cS[q_2]$ für alle $c$ aus dem Grundkörper und $q_1,q_2$ aus dem Vektorraum, auf dem $S$ definiert ist. Ich dachte aber, das wäre dir bereits klar gewesen?
\quoteon(2023-01-25 13:31 - Simon_St2 in Beitrag No. 7)
Ich dachte eigentlich, dass die Wirkungsfunktionale der Physik immer linear sind.
\quoteoff
Warum sollten sie das sein? Wirkungsfunktionale sind im Allgemeinen nicht-linear, wie dir bereits mein einfaches Beispiel des freien klassischen Teilchens demonstriert.
\quoteon(2023-01-25 13:31 - Simon_St2 in Beitrag No. 7)
Trifft das auf die Quantenmechanik zu, dass hier das Wirkungsfunktional linear ist?
\quoteoff
Wiederum nein. In der Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie betrachtet man typischerweise das Pfadintegral, um Übergangsamplituden zu berechnen. Das im Exponenten auftretende Wirkungsfunktional hat die selben Eigenschaften wie im klassischen Fall.
Solltest du weitere Fragen physikalischer Natur haben, würde ich dich bitten, einen neuen Thread zu öffnen, damit wir hier nicht durcheinander geraten. Das sollte ja eigentlich nur eine Nebenbemerkung von mir sein, aber wenn es zu weiteren Fragen bzw. Diskussionen führt, ist das völlig in Ordnung, nur eben besser in einem eigenen Thread aufgehoben. 😄
Grüße,
PhysikRabe
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Simon_St2
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25
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Danke PhysikRabe für die Definition, was erstmal nicht-linear bei Funktionalen bedeutet. Jetzt kann ich weiter arbeiten und beende den Thread erstmal.
Die Frage war rein mathematisch gemeint. Aber die Physik bietet da immer anschauliche Beispiele.
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Simon_St2
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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OK. Ich habe doch noch eine Frage:
Was ist wenn ich ein Variationsprinzip ansetze. Gibt es da automatisch Linearitäten?
Ich betrachte nochmal:
\(S[q] = \int_a^b L(q,\dot{q})\,\mathrm{d}t\) für einen Pfad \([a,b]\ni t\mapsto q(t)\)
Und sage:
\delta S[q]=0
Ich suche eine Extremstelle von S. Gilt da nicht automatisch
\delta c*S[q]=0
c* \delta S[q]=0
\delta S[q]=0
Dass ich also aus der Variation einen skalar rausziehen kann. Vll geht das auch mit der Summe von zwei Pfaden q1(t)+q2(t)?
Tatsächlich interessieren mich letztendlich nur Variationsprobleme von Funktionalen. Und ist nicht schon in der Aufstellung des Variationsprinzips eine Linearität drin?
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PhysikRabe
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 09:09 - Simon_St2 in Beitrag No. 10)
Ich suche eine Extremstelle von S. Gilt da nicht automatisch
\delta c*S[q]=0
c* \delta S[q]=0
\delta S[q]=0
Dass ich also aus der Variation einen skalar rausziehen kann. Vll geht das auch mit der Summe von zwei Pfaden q1(t)+q2(t)?
\quoteoff
Nein, warum sollte es das? $S$ ist (im Allgemeinen) nicht-linear. Es gibt keinen Grund, warum die Funktionalableitung $\delta S$ plötzlich ein lineares Funktional sein sollte.
\quoteon(2023-01-28 09:09 - Simon_St2 in Beitrag No. 10)
Und ist nicht schon in der Aufstellung des Variationsprinzips eine Linearität drin?
\quoteoff
Ich weiß nicht, was du mit "ist eine Linearität drin" meinst. Abbildungen zwischen Vektorräumen (wie z.B. Funktionale) können linear oder nicht-linear sein. Ob eine Abbildung linear oder nicht-linear ist, muss man sich von Fall zu Fall ansehen. Es gibt jedenfalls kein allgemeines Prinzip, welches die Linearität von Wirkungsfunktionalen in der Physik garantiert. Viel mehr gibt es dazu nicht zu sagen.
Für die exakte Definition der Funktionalableitung und ihrer Bedeutung in der Physik, siehe das Kapitel "Funktionalableitung" im Buch "Funktionalanalysis im Hinblick auf Anwendungen in der Physik" von Siegfried Großmann.
Grüße,
PhysikRabe
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