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  Hausdorffmaß eines Quadrates mit Seitenlänge 1 |
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paulster
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 |  Themenstart: 2023-01-24
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Hallo Leute,
ich möchte das Hausdorffmaß besser verstehen und wollte so einfach mal für ein Quadrat $A$ mit Seitenlänge $a=1$, $\mathcal{H}^s(A)$ berechnen, wobei in dem Fall $s=2$.
Unsere Definition des Hausdorffmaßes lautet: $\mathcal{H}^s_\delta(A):=\omega_s \inf\left\{\sum\limits_{i=1}^\infty \left(\frac{diam(C_i)}{2} \right)^s : diam(C_i) \leq \delta, \bigcup\limits_{i=1}^\infty \supseteq A \right\}$ mit $\omega_s = \frac{\Gamma(1/2)^s}{\Gamma(1+s/2)}$.
Damit ist dann $\mathcal{H}^s(A) := \lim\limits_{\delta \to 0} \mathcal{H}^s_\delta(A)$.
Jetzt müsste ja eigentlich $\mathcal{H}^2(A)=1$ gelten, oder nicht?
Nur wie zeige ich das am Besten mit der Definition von oben?
Also $\omega_2=\pi$ ist ja noch klar, aber der Rest passt einfach nicht.
Wenn ich versuche, das Quadrat mit immer kleiner werdenden Quadraten zu überdecken, dann bekomme ich zwar als Obergrenze $\pi/2$, aber eben nicht 1.
Wenn mir hier jemand weiterhelfen kann oder Ideen hat, dann wär ich sehr froh. Ich hab schomal einen ähnlichen Beitrag mit einem komplizierteren Bsp. gepostet, der noch unbeantwortet ist, sich aber mit dem Verständnis hiervon hoffentlich von selbst klärt :)
Danke und bis bald, LG,
Paulster
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hast du denn wirklich nur die Definition zur Verfügung? Mit ein paar der wichtigen Eigenschaften des Hausdorff-Maßes ist das natürlich wesentlich einfacher.
Ansonsten würde ich mir in diesem Fall folgendes überlegen:
Zu jedem Quader $Q\subseteq \mathbb R^2$ gibt es für jedes $\varepsilon>0$ und jedes $\delta>0$ eine abzählbare Überdeckung mit Kugeln $(B_n)_{n\in \mathbb N}$ mit Durchmesser höchstens $\delta$ derart, dass
$$
\lambda^2(Q)\leq\sum_{n=1}^\infty \lambda^2(B_n) \leq \lambda^2(Q)+\varepsilon.
$$
Daraus erhalten wir dann $\mathcal H^2(Q)=\lambda^2(Q)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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paulster
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24
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Hallo Nico,
also das weiß ich schon, deshalb meinte ich ja, dass $1$ rauskommen soll, aber ich kann bei dem Beispiel, das mir eigentlich Sorgen bereitet, so nicht vorgehen (glaub ich).
Wenn ich nämlich
$A_0 = [0,1]$
$A_1=\{0,\frac{2}{5},\frac{4}{5}\} + \frac{1}{5}A_0 = [0,\frac{1}{5}] \cup [\frac{2}{5},\frac{3}{5}] \cup [\frac{4}{5},1]$
und weiter
$A_n = \{0,\frac{2}{5},\frac{1}{5}\} + \frac{1}{5}A_{n-1}$ betrachte und dann das Hausdorffmaß von $A:=\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}}A_n$, also $\mathcal{H}^s(A)$ berechnen will, wobei $s=\frac{ln(3)}{ln(2)}$, dann muss ich doch die Definition benutzen irgendwie oder? Deshalb wollte ich sie besser verstehen, aber anscheinend ist das alles nicht so easy ..., oder meinst du geht das Bsp. hier mit dem Lebesgue-Maß irgendwie ?
LG, Paulster
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-24
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Zu diesem konkreten Beispiel gibt es bereits einen Thread von dir. Das sollten wir also nicht in diesem Thread weiter besprechen.
Die Definition ist jedenfalls nicht wirklich dafür gemacht, mit ihr etwas auszurechnen. Natürlich ist das in einfachen Fällen möglich, aber sie ist nicht wirklich dafür gemacht.
LG Nico
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paulster
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24
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Okay, naja ja, sie ist schon etwas unpraktisch wie es scheint :/
Okay, ja ich verlinke den Thread hier nochmal, danke dir, LG
Paulster
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=261248&post_id=1898354
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