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Analysis » Ungleichungen » Ungleichung für Normen auf ℝⁿ
Autor
Universität/Hochschule Ungleichung für Normen auf ℝⁿ
maddio14
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.05.2010
Mitteilungen: 394
  Themenstart: 2023-01-27

Frage: Seien $\left\Vert \cdot\right\Vert _{1}$ und $\left\Vert \cdot\right\Vert _{2}$ Normen auf $\mathbb{R}^{n}$, $n\in\mathbb{N}$ und fixiere $x,y\in\mathbb{R}^{n}$. Zeige, dass eine Konstante $C>0$ mit \[C^{-1}\leq\frac{\left\Vert x+z\right\Vert _{1}-\left\Vert y+z\right\Vert _{1}}{\left\Vert x+z\right\Vert _{2}-\left\Vert y+z\right\Vert _{2}}\leq C\] für alle $z\in\mathbb{R}^{n}$ existiert. Dies erscheint eine einfach Analysis-Übung zu sein, aber bisher konnte ich diese Frage nicht lösen. Ich schätze die richtige Idee ist auszunutzen, dass alle Normen auf $\mathbb{R}^{n}$ äquivalent sind?

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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9684
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo maddio14, vielleicht verstehe ich das nicht richtig: wenn das wirklich die 1- und die 2-Norm sind, und n=2 und \( z=(0,0) \), \( x=(-1,0)\) und \( y=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) \), dann ist der Nenner Null und der Zähler nicht. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)

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