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  Dichte vom Produkt zweier Zufallsvariablen |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
 |  Themenstart: 2023-01-28
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Hallo zusammen,
angenommen wir betrachten zwei unabhängig reelle ZVn $X,Y$ mit den Dichtefunktionen $f_X$ und $f_Y$. Wir sollen nun die Dichtefunktion der ZV $=XY$, wobei $X\geq 0$, bestimmen.
Nebenbei bemerkt glaube ich, dass die Prof hier vergessen hat zu erwähnen, dass zumindest $f_Y$ stetig sein muss.
Folgendermaßen bin ich nun vorgegangen, wobei $z\in\mathbb{R}$:
$
\begin{align*}
&P(XY\leq z)=P\left(Y\leq \frac{z}{X},X>0\right)\underset{\text{Unabhängigkeit von } XY}{=}P\left(Y\leq \frac{z}{X}\right)P\left(X>0\right)\\
&=P\left(Y\leq \frac{z}{X}\right)P(-X<0)\\
&=\int\limits_{-\infty}^{\frac{z}{x}}f_Y(y)dy\cdot\int\limits_{-\infty}^{0}f_X(-x)dx\\
&=\int\limits_{-\infty}^{z}\frac{1}{x}f_Y\left(\frac{y}{x}\right)dy\cdot\int\limits_0^{\infty}f_X(x)dx
\end{align*}$
Da $f_Y$ stetig ist, wissen wir aufgrund des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung, dass $\int\limits_{-\infty}^{z}\frac{1}{x}f_Y\left(\frac{y}{x}\right)dy$ bzgl $z$ diffbar ist. Damit folgt, dass
$
\begin{align*}
& \frac{1}{x}f_Y\left(\frac{z}{x}\right)\int\limits_0^{\infty}f_X(x)dx.
\end{align*}$
ein Dichtefunktion von $XY$ ist.
Die Musterlösung sagt nun $\int\limits_0^{\infty}f_X(x)\frac{1}{x}f_Y\left(\frac{z}{x}\right)dx$ und ich frage mich wo mein Fehler liegt.
Gibt es ggf. auch einen Weg, die Dichte von $XY$ herzuleiten ohne zusätzlich anzunehmen, dass $f_Y$ stetig sein muss?
Viele Grüße
WagW
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4425
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 16:29 - WagW im Themenstart)
und ich frage mich wo mein Fehler liegt?
\quoteoff
Zunächst einmal gehört an diesen Satz kein Fragezeichen (Stichwort indirekte Frage).
Dann berechnest du $P\left(Y\leq \frac{z}{X}\right)$ so, als ob $X$ keine Zufallsvariable, sondern eine Zahl wäre. Das da etwas nicht stimmen kann, siehst du schon daran, das in deinem Endergebnis ein $x$ vorkommt, obwohl du eine Funktion von $z$ allein suchst.
--zippy
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 911
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-28
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Moin WagW, schau mal hier, Seite 187. Ueberhaupt kann dieses Buch nuetzlich sein bei deinen Vorbereitungen.
vg Luis
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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Hallo ihr beiden,
Danke für eure Hinweise. Ich denke ich muss mal noch etwas Zeit in die Theorie stecken 🤔.
Aber, dass man $f_Y$ als stetig voraussetzen müsste, stimmt doch, oder?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4425
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 18:02 - WagW in Beitrag No. 3)
Aber, dass man $f_Y$ als stetig voraussetzen müsste, stimmt doch, oder?
\quoteoff
Wozu brauchst du diese Voraussetzung?
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WagW
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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Meine Vermutung ist, dass man doch an irgendeiner Stelle den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden muss. Hierfür muss aber der Integrand stetig sein.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4425
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 18:26 - WagW in Beitrag No. 5)
Hierfür muss aber der Integrand stetig sein.
\quoteoff
Es gibt auch eine Lebesgue-Variante des Hauptsatzes.
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WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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Die kenne ich noch nicht nicht bzw. die wird in unserem Kurs nicht erwähnt. Aber wenn ich mir diese Variante so gerade anschaue, dann sieht das stark danach aus, dass unsere Prof das im Hinterkopf hatte.
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-28 17:29 - zippy in Beitrag No. 1)
[...]
Dann berechnest du $P\left(Y\leq \frac{z}{X}\right)$ so, als ob $X$ keine Zufallsvariable, sondern eine Zahl wäre. Das da etwas nicht stimmen kann, siehst du schon daran, das in deinem Endergebnis ein $x$ vorkommt, obwohl du eine Funktion von $z$ allein suchst.
--zippy
\quoteoff
Was ist daran ein Fehler, dass man $P(Y\leq \frac{z}{X})$ so berechnet als sei $X$ eine Zahl. Im Prinzip ist hier ja $X$ eine Zahl, halt aus dem Bildbereich der ZV $X$.
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zippy
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Mitteilungen: 4425
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 18:08 - WagW in Beitrag No. 8)
Im Prinzip ist hier ja $X$ eine Zahl, halt aus dem Bildbereich der ZV $X$.
\quoteoff
$X$ ist an dieser Stelle nach wie vor eine Zufallsvariable, d.h. eine Funktion $\Omega\to\mathbb R$ und keine feste Zahl.
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WagW
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Auch in diesem Falle verstehe ich nicht wieso das falsch sein soll. Ich kann doch einfach eine WSK Funktion ermitteln in der noch eine Unbekannte vorhanden ist. Damit habe ich im Zweifelsfall nichts gewonnen, aber meinem Verständnis nach ist das nicht falsch. Ich denke, dass mein Fehler woanders liegt.
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zippy
Senior
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Mitteilungen: 4425
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 19:27 - WagW in Beitrag No. 10)
Damit habe ich im Zweifelsfall nichts gewonnen, aber meinem Verständnis nach ist das nicht falsch.
\quoteoff
Bei deinen Umformungen schreibst du plötzlich $x$ statt $X$. Du hast also selbst schon bemerkt, dass du eine Zufallsvariable durch eine Zahl ersetzt. Das machst du allerdings ohne jede Begründung. Wenn du nach einer Begründung suchst, wirst du merken, dass es keine gibt.
Auf ein Indiz dafür, dass etwas falsch läuft, hatte ich dich auch schon hingewiesen:
\quoteon(2023-01-28 17:29 - zippy in Beitrag No. 1)
Das da etwas nicht stimmen kann, siehst du schon daran, das in deinem Endergebnis ein $x$ vorkommt, obwohl du eine Funktion von $z$ allein suchst.
\quoteoff
Schau einfach, wo dieses "überflüssige $x$" herkommt. Dann wird dir dein Fehler klar werden.
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