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| Autor |
  Tangentialraum vs. Tangentialebene |
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StieltjesOP
Junior 
Dabei seit: 12.11.2022
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2023-01-28
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Ich komme irgendwie durcheinander, weil es überall anders dasteht:
Ist es richtig, dass der Tangentialraum an einem Punkt einer Untermannigfaltigkeit immer durch den 0-Punkt gehen muss und die Tangentialebene an einem Punkt immer durch den Punkt selbst gehen muss?
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28
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Das kommt ganz auf die Definitionen an. Von müssen kann man daher nicht sprechen.
Wenn man mit $k$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten $M$ eines $\mathbb R^n$ arbeitet, dann sollte der Tangentialraum $T_pM$ von $M$ in $p$ eben auch ein $k$-dimensionaler Vektorraum sein.
In diesem Setting löst man das in der Regel so, dass man damit wirklich einen $k$-dimensionalen Untervektorraum des selben $\mathbb R^n$ meint, der dann auch den Nullvektor von $\mathbb R^n$ enthält. Die anschauliche Tangentialebene ist dann ein affiner Untervektorraum, den man durch Verschieben des Tangentialraums erhält.
Aber wie gesagt: Man könnte problemlos auch mit der anschaulichen Tangentialebene arbeiten und auch darauf eine Vektorraumstruktur definieren. Das ist nur sehr unnatürlich, wenn die nicht mit der Vektorraumstruktur des umgebenden $\mathbb R^n$ übereinstimmt.
Das Problem entsteht dadurch, dass $\mathbb R^n$ selbst eine Mannigfaltigkeit ist und man eigentlich an jedem Punkt $p\in \mathbb R^n$ einen eigenen Tangentialraum $T_p\mathbb R^n$ hat, der vom umgebenden $\mathbb R^n$ zu unterscheiden, aber kanonisch zu $\mathbb R^n$ isomorph ist. Anschaulich kann man sich $T_p\mathbb R^n$ als die Vektoren vorstellen, die am Punkt $p$ "starten" (wenn man das macht, dann nutzt man aber eigentlich bereits implizit die Isomorphie $T_p\mathbb R^n\cong \mathbb R^n$ aus). Wenn man hingegen eine strikte Unterscheidung zwischen $\mathbb R^n$ und $T_p\mathbb R^n$ vornimmt, dann ist für eine Untermannigfaltigkeit $M$ von $\mathbb R^n$ auch $T_pM$ ein Untervektorraum von $T_p\mathbb R^n$ und $T_p\mathbb R^n$ ist dann ein eigenständiger Vektorraum für jedes $p$, der nicht innerhalb des umgebenden $\mathbb R^n$ liegt.
Klarheit verschafft da die abstrakte Sichtweise, also das Vergessen eines umgebenden $\mathbb R^n$ und das Betrachten von Mannigfaltigkeiten als eigenständige Objekte. Im $\mathbb R^n$ ist da alles ein bisschen durcheinander, wenn man nicht ganz strikt alle Objekte voneinander trennt.
LG Nico\(\endgroup\)
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