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  Interpolationsfehler |
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eisenstein01
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 127
 |  Themenstart: 2023-01-30
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Hi Leute, ich komme mit zwei Sätzen aus meiner Numerik-VL nicht zurecht:
$\textbf{Satz 1}$:
Sei $f \in C^{n+1}([a, b])$ und $p$ das Interpolationspolynom zu den Knoten $(x_i,y_i), i = 0,...n$. Für alle $x \in [a, b]$ existiert ein $\zeta_x \in I(x_0, . . . , x_n, x)$, sodass $$f(x) − p(x) = f^{n+1}(\zeta_x)/(n + 1)! (x-x_1)...(x-x_n)$$
$\textbf{Satz 2}$ (oder eher Korollar):
Sind $a=x_0, b=x_n$, so gilt unter denselben Voraussetzungen wie in Satz 1:: $$||f − p||_{\infty,[a,b]} ≤|b − a|^{n+1}/(n + 1)! ||f^{n+1}||_{\infty, [a,b]}$$
Konkret soll nun der Interpolationsfehler für die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ im Punkt $x=3$ in den beiden Sätzen verglichen werden, wobei $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$. Die Stützstellen sind $X_0 = 1/4, x_1 = 1, x_2 = 4$.
Meine Fragen:
1. Verstehe ich das richtig, dass Satz 1 mir den Interpolationsfehler für einen konkreten Punkt berechnet und Satz 2 die maximale Größe des Fehlers bestimmt?
2. Satz 1 beinhaltet eine Existenzaussage. Wie gehe ich nun mit diesem $\zeta_x$ um, wenn ich mir konkrekt den Fehler an einer Stelle berechnen will?= Das $\zeta_x$ müsste ich hierfür ja selbst erst bestimmen.
3. Kann ich die Sätze überhaupt auf $f$ anwenden, da kein abgeschlossenes Intervall angegeben ist?
4.Gibt es einen Weg, wie ich einfach die Supremumsnorm einer Funktion bestimmen kann, ohne großartig Extrempunkte berechnen zu müssen? Klar, hier ist das einfach, aber bei anderen Funktionen eben nicht.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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mathilde01
Aktiv 
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 62
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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Hallo, Satz 1 sagt dir, dass es ein $\zeta_x$ gibt, sodass die Gleichheit gilt. Wenn du das Interpolationspolynom bestimmt hast und den Fehler an einer bestimmten Stelle $x_0$ berechnen willst, kannst du einfach $p(x_0)-f(x_0)$ ausrechnen. Satz 1 brauchst du dafür nicht. Satz 2 gibt dir eine obere Schranke für den maximalen Interpolationsfehler. In deiner konkreten Aufgabe kannst du $[a,b]=[\frac{1}{4}, 4]$ benutzen.
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eisenstein01
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 127
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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\quoteon(2023-02-02 11:08 - mathilde01 in Beitrag No. 1)
Hallo, Satz 1 sagt dir, dass es ein $\zeta_x$ gibt, sodass die Gleichheit gilt. Wenn du das Interpolationspolynom bestimmt hast und den Fehler an einer bestimmten Stelle $x_0$ berechnen willst, kannst du einfach $p(x_0)-f(x_0)$ ausrechnen. Satz 1 brauchst du dafür nicht. Satz 2 gibt dir eine obere Schranke für den maximalen Interpolationsfehler. In deiner konkreten Aufgabe kannst du $[a,b]=[\frac{1}{4}, 4]$ benutzen.
\quoteoff
Super, vielen Dank!
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eisenstein01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eisenstein01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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