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  Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen |
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MatheistTollStudent
Neu 
Dabei seit: 31.01.2023
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2023-01-31
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Mit funktionen Folgen habe ich es noch nicht so. Wäre hier mein Vorgehen und die notation in Ordnung
Sei x∈ (1,-1) untersuchen sie
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{x^{n}}{1-x^{n}} \)auf gleichmäßige und Punktweise Konvergenz
Ansatz:\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{x^{n}}{1-x^{n}} \) <=
| \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{x^{n}}{1-x^{n}} \) |
<= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{|x|^{n}}{1-|x|^{n}} \)
<= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( \frac{||x^{n}}{1-|x|} \)
= \( \frac{1}{1-|x|} \) * \( \frac{1}{1-|x|} \)
Somit konvergiert die Folge noch dem Majoranen Kriterium => Punktweise Konvergenz
Nicht glm Konvergent:
lim x->1 \( \frac{1}{1-|x|} \) * \( \frac{1}{1-|x|} \) = ∞
Hier bräuchte ich Hilfe der Notation ( Gegenbeweis durch supnorm)Bzw. Könnte jemand erklären wie ich hier vorgehen muss
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-31
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Hallo,
Du betrachtest keine Funktionenfolge.
Richtiges Vorgehen: Betrachte Folge der Partialsummen und prüfe, ob diese Folge gegen den Grenzwert konvergiert.
Das geht mit Deinem bekannten Grenzwert oder durch Abschätzung des Summenrests, also von dem, was nach Abzug der Partialsumme von Deiner Reihe übrigbleibt.
Gruß Wauzi
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MatheistTollStudent
Neu
Dabei seit: 31.01.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Also qusi sup|Die Reihe- meinen Genzwert|? und wenn da nicht null rauskommt konvergiert es nicht gleichmäßig ?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2054
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-31
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-01-31 13:36 - Wauzi in Beitrag No. 1)
Du betrachtest keine Funktionenfolge.
\quoteoff
Es ist durchaus üblich, solche Reihen als Funktionenreihen aufzufassen. In diesem Fall hat man die Funktionen $f_n\colon (-1,1)\to \mathbb R$ gegeben durch $f_n(x)=\tfrac{x^n}{1-x^n}$ und die zugehörige Funktionenreihe
$$
\sum_{n=0}^\infty f_n=\left(\sum_{n=0}^m f_n\right)_{m\in\mathbb N}.
$$
Die Frage nach der punktweisen bzw. gleichmäßigen Konvergenz bezieht sich dann auf diese spezielle Funktionenfolge. Viele sind da etwas nachlässig und schreiben $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ anstatt $\sum_{n=0}^\infty f_n$.
LG Nico\(\endgroup\)
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-02
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Hallo :)
@MatheistTollStudent. Im Wesentlichen ist dein Beweis richtig, dass die Funktionenfolge $(g_m)_m$ mit $g_m\colon (-1,1)\to \mathbb R$ gegeben durch
\[
g_m(x)=\sum_{n=0}^m\frac{x^n}{1-x^n}
\]
punktweise konvergiert.
Es ist trotzdem etwas merkwürdig aufgeschrieben.
Für jedes $x\in \mathbb R$ mit $|x|<1$ und jede natürliche Zahl $n\geq 1$ gilt $|x|^n\leq |x|$. Das lässt sich beispielsweise induktiv zeigen.
Somit folgt $1-x^n\geq 1-|x|^n\geq 1-|x|$ und $\frac{1}{1-x^n}\leq \frac{1}{1-|x|}$. Überlege dir bei jedem $\geq$-Zeichen, warum es gelten muss.
Für jedes $x\in(-1,1)$ ist die Folge
\[
\left(\sum_{n=0}^m\left|\frac{x^n}{1-x^n}\right|\right)_m
\]
monoton wachsend, da alle Summanden positv sind. Sie ist für jedes $x\in(-1,1)$ nach oben beschränkt, denn
\[
\sum_{n=0}^m\left|\frac{x^n}{1-x^n}\right|\leq\sum_{n=0}^m\frac{|x|^n}{1-|x|}= \frac{1}{1-|x|}\sum_{n=0}^m|x|^n<\frac{1}{1-|x|}\cdot \frac{1}{1-|x|}.
\]
Da die Folge $
\left(\sum_{n=0}^m\left|\frac{x^n}{1-x^n}\right|\right)_m
$ für jedes $x\in(-1,1)$ beschränkt und monoton ist, konvergiert sie.
Das bedeutet, dass die Reihe $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{1-x^n}$ absolut konvergiert. Somit konvergiert auch $(g_m)_m$ punktweise.
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MatheistTollStudent
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Dabei seit: 31.01.2023
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-05
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könntest du mal aufschreiben wie das hier zu zeigen wäre?
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-05
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Hallo,
es steht doch schon alles da.
Aus der gezeigten absoluten Konvergenz folgt die normale Konvergenz der Reihe für jedes x aus dem Definitionsbereich und das ist nichts anderes als punktweise Konvergenz.
Der Beweis von ochen ist vollständig, was soll da noch dazugeschrieben werden?
Gruß Wauzi
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MatheistTollStudent
Neu
Dabei seit: 31.01.2023
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-05
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Danke für die schnelle Antwort.
Die Punktweise Konvergenz ist nicht das Problem. Mir fehlt die Gleichmäßige Konvergenz.
Mfg
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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
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Wohnort: Bayern
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-05
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Wenn einem kein Beweis einfällt, kann man auch nach einem Gegenbeispiel suchen.
Findet man eines, ist man fertig. Findet man keines, kommt einem dabei oft eine Idee für den Beweis.
Aber konkret:
Für die Konvergenz betrachtest Du
abs(g(x)-g_m(x))=sum(x^n/(1-x^n),n=m+1,\inf )
Suche jetzt eine Folge von x-Werten (denn festes x nutzt nichts, da haben wir ja Konvergenz) die gegen 1 konvergiert und prüfe, ob für vorgegebenes Epsilon immer(!) ab einem bestimmten m diese Summe kleiner als Epsilon bleibt.
Also Ziel
Sei \epsilon>0 vorgegeben.
Sei x_m eine Folge mit 01.
Gibt es dann ein M mit abs(sum(x_m^n/(1-x_m^n),n=m+1,\inf ))<\epsilon
für alle m>=M
Dieses M darf nur von Epsilon, nicht aber von der gewählten Folge abhängen. (gleichmäßige(!) Konvergenz)
Und jetzt einen Widerspruch mit geeigneter Folge erzeugen oder zeigen, daß es zu jeder Folge und jedem Epsilon ein geeignetes M gibt
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-05
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Tip:
Überlege, daß trivialerweise
abs(sum(x_m^n/(1-x_m^n),n=m,\inf ))>=x_m^m/(1-x_m^m)
(Ich habe den Laufindex um 1 verändert, um die Schreibweise zu vereinfachen )
Teste mal x_m=m/(m+1)
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