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Analysis » Differentialgeometrie » Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit
Gengar
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  Themenstart: 2023-01-31

Hallo lieber Matheplanet, Seien immer \(𝑚,𝑑 ∈ ℕ\) und \(𝑠 ∈ ℕ ∪ {∞}\). Eine nichtleere Menge \(𝑀 ⊂ ℝ^{𝑚+𝑑} \) heißt \(𝑚\)- dimensionale gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit der Klasse \(𝐶^𝑠\) oder \(𝐶^𝑠\)-Mannigfaltigkeit, wenn eine offene Menge \(Ω ⊂ ℝ^{𝑚+𝑑} \)und eine Funktion \(𝑓 ∈ 𝐶^𝑠(Ω,ℝ^𝑑) \) so existieren, dass \(𝑀 = 𝑓^{−1}(0) = \{𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑓(𝑥) = 0\} ⊂ Ω \) gilt und alle \(𝑥^0 ∈ 𝑀 \) reguläre Punkte von \(𝑓\) sind. \(𝑚\) ist dann die Dimension, \(𝑑\) die Kodimension von \(𝑀\). Hier erstmal die Definition. Meine Frage wäre, ob so eine Mfk automatisch schon abgeschlossen im \(ℝ^{𝑚+𝑑} \) ist. Falls \(Ω = ℝ^{𝑚+𝑑} \) ist, dann ist die Sache klar und \(M\) ist als Urbild der \(0\) automatisch abgeschlossen im \(ℝ^{𝑚+𝑑} \).

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, betrachte den Fall $m=d=1$ und $\Omega=B_1(0)\subseteq \mathbb R^2$. Weiter sei $$ f\colon \Omega\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto y. $$ Für $(x,y)\in \Omega$ ist $(Df)_{(x,y)}\colon \mathbb R^2\to \mathbb R$ die Projektion auf den zweiten Eintrag und somit surjektiv. Nun ist aber $$ M:=f^{-1}(\lbrace 0\rbrace)=\lbrace (x,y)\in \Omega\mid y=0\rbrace =(-1,1)\times \lbrace 0\rbrace $$ nicht abgeschlossen in $\mathbb R^2$ (aber natürlich abgeschlossen in $\Omega$ versehen mit der Teilraumtopologie). LG Nico\(\endgroup\)

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