| |
| Autor |
 Satz von de Moivre für komplexe Potenzen |
|
marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 677
 |  Themenstart: 2023-02-02
|
Hallo hier noch zur späten stunde eine kleine Miniatur eigentlich lächerlich aber ich pack es leider trotzdem nicht gut gesucht
\
z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
und dann noch für die Fälle k=0,1,2,durchrechnern komme trotzdem nicht auf das Ergebnis in katesischer form wie rechne ich dies nun wieder um oder ist der Ansatz hier schon verkackt
1000 Dank im Vorraus
das Umrechnen der jeweiligen Formen ist in der tat für mich nach wie vor der Knackkpunkt
kartesisch- polar trigonometrisch hin und her und zurück da hapert es eben wenn der Ansatz zumindest stimmen würde???
|
 Profil
|
Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1115
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
|
\quoteon(2023-02-02 00:30 - marathon im Themenstart)
\
z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
das Umrechnen der jeweiligen Formen ist in der tat für mich nach wie vor der Knackkpunkt
kartesisch- polar trigonometrisch hin und her und zurück da hapert es eben \quoteoff
\
Beitrag \#0 ist ziemlich wirr geschrieben, aber ich vermute es geht darum:
Du hast 1+2i = sqrt(5) exp(i arctan(2)) =sqrt(5) (cos(arctan(2)) + i sin(arctan(2)))
und Du fragst Dich, wie man von der Polarform wieder auf die algebraische Form kommt.
Dazu braucht es sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1) und
cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1).
Siehe z.B. hier.
|
Profil
|
marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 677
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
|
ja aber es ist doch ein z^3 mus ich da nicht noch die 3te wurzel aus r ziehen und oben den Winkel durch 3 Teilen also versuche mich strukturierter zu äußern es geht um
z^3 ( hoch 3) = 1+2i
\
z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
wenn du Wario mir sagen könntest was daran wirr sein soll????!!! verstehe ich nicht !!!!
und es geht also um komplexe Potenzen hatte noch eine analoge Aufgabe wo es dann Z^12 hieß und dies dann wieder in der kartesischen Form ausgedrückt!!
also bleibt für mich nach wie vor die Frage wie ich das hoch 3 bei Z richtig auflöse der Radius wird dann ja
\
sqrt(5)^(1/3)
und der winkel arctan(c)/3 rechne ich da eigentlich mit Rad weiter
|
Profil
|
lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11464
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-02
|
Hallo
Du rechnest Winkel eigentlich immer in Rad (hier ist es aber egal allerdings musst du dann auch 2\pi durch 360° ersetzen )
du hast überall i im Exponenten weggelassen und wenn du die dritte Wurzel suchst hast du ja
ausser dem Winkel tan(2)/3 noch tan(2)/3+2\pi/3 und tan(2)/3+4\pi/3
uns e^(i a)=cos(a)+isin(a) weisst du ja.
bei der 12 ten Wurzel entsprechend ausser a= Winkel/12 noch 11 weitere Winkel mit a+ k*2\pi/12 mit k von 1 bis 11
lula
|
Profil
|
marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 677
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
|
wie immer nimmt meine Verblödung von Tag zu Tag zu grauenvolle
Demenzschübe ich kriege das nicht hin!!!!! das Ergebnis soll sein
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-02_23.21.02.png
gut in meiner kollosalten Verblödunng hane ich zuerst den Wert für
\
qrt(5)^(1/3)ausgerechnet
ergab bei mir 1.307
dann der Tan für 2 in rad ausgerechnet=-2.185 diesen wert dann durch 3 geteilt
ergibt -0.72 daraus wieder der cos(-o.72) ergibt 0.75*1.307(der Wurzelwert
vom Anfang aber das Ergebnis 0.98 passt nicht es sollen ja 1.21 herauskommern stimmt nicht wo ist mein hirnrissigster Fehler need help!!!!!!!
ich weiß ich bin schon quasi eine Art Extremwertherasuforderungsaufgabe
für jede Form von Geduld
danke im Vorrasu für jede Form von Nachsicht
|
Profil
|
rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11577
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-02
|
Hallo marathon,
das Argument von $z^3$ hat den Wert $\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$, wie Wario schon in Beitrag 1 geschrieben hat. Du rechnest aber stattdessen mit $\tan\left(\frac{2}{1}\right)$.
Servus,
Roland
|
Profil
|
marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 677
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
|
Hallo habe nun zuerst den Weg eingeschlagen den winkel des Tan über deg
auszzurechnen siehe auch eingefügtes Bildelement ergab 63,4°
danach die 63,4° geteilt durch 3 das die 3te Wurzel in den Cosinus
ergab 0,932 und dann mal
\
5^(1/6) und hier stimmt das Ergebnis mit den 1.21 mit der vorgegebenen
Lösung sogar überein
und für den sin einfach nur cos mit sin austauschen auch hier das Gewünschte
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-06_22.53.52.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-06_22.49.03.png
aber mit der rad variante hab ich es leider nicht gepackt i wonder why????
zusatzfrage wie ist eigentlich nochmal der genaue Zusammenhang zwischen degree und rad
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2834
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-06
|
Hallo
Ein rad ist der Winkel, wenn der Bogen dieselbe Länge hat, wie der Radius.
r=2*\pi*r*1rad/360°
1rad=180°/\pi
Gruß caban
|
Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1115
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-11
|
@marathon
Nochmal #0 usw. lesend vermute ich, Dein Problem ist das folgende:
Du hast die Polarform $
e^{i\frac{\arctan(2)}{3}}
=\cos\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
+ i\sin\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
=: p +iq
$
und fragst Dich, wie man die algebraische Form angibt, im Sinne von, dass man $p$ und $q$ als "verschachtelte Wurzelausdrücke" angibt, genauer als sogenannte "durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen".
"Durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen" sind erklärt als solche Zahlen, die entstehen aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Ziehen $n$-ter Wurzeln (wobei $n$ eine natürliche Zahl ist).
Das ist aber im allgemeinen nicht möglich:
a) Im Gradmaß formuliert, ist $\sin(\alpha)$ bzw. $\cos(\alpha)$ eine durch Radikale darstellbare algebraische Zahl, wenn $\alpha$ ein Vielfaches von $3^\circ$ ist (was sich, wegen $
3^\circ \hat{=} \frac{\pi}{60},
$ bei Bedarf auch für das Bogenmaß formulieren lässt). Beispiel: $\cos(36^\circ)
=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.$
b) Dazu kommen solche Werte $\alpha$, für die sich $\sin(\alpha)$ bzw. $\cos(\alpha)$ mit Hilfe von der unter a) genannten $3^\circ$-Vielfachen und Heranziehung trigonometrischer Identitäten darstellen lässt.
Beispiel 1:
$
\begin{array}{l l}
\sin\left( \frac{\pi}{8} \right)
&=\sin(22.5^\circ)
=\sin\left( \frac{45^\circ}{2} \right)
=\sqrt{ \dfrac{1-\cos(45^\circ)}{2} } \\
&=\sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} }
=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
\end{array}$
Beispiel 2:
$
\begin{array}{l l}
\cos\left( \frac{2\pi}{15} \right)
&=\cos(24^\circ) =\cos(60^\circ-36^\circ)
= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
= \dfrac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}
\end{array}$
c) Allgemeiner lassen sich $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$
als durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen angeben, wenn $\alpha$
mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Dazu muss $\alpha$ die Form $
\alpha =\dfrac{2\pi}{n}
$ haben; wobei $n$ den Aufbau
$n=2^k$ oder $
n=2^k\, p_0\, p_1\, p_2\, \dots\, p_m
$ hat;
worin $k\in\mathbb{N_{\geq 0}}$ ist und $
p_0,~ p_1,~ p_2,~ \dots, p_m
$ paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sein müssen, also den Aufbau $
p_s~\text{prim},~~ p_s=2^{2^s}+1, ~~s\in\mathbb{N_{\geq 0}}
$ haben (das heißt $
p_s = 3,~ 5,~ 17,~ 257,~ 65537,~\overset{(?)}{\dots}
$).
Beispiel 1: So zeigte Gauß für $p_2 =17=2^{2^2}+1$ und $
n=2^0 \cdot 17 = 17$, dass
$
\cos\left( \frac{2\pi}{n} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{17} \right)
=\dfrac{-1+\sqrt{17} +\sqrt{34-2\sqrt{17}} +2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}
$
eine durch Radikale darstellbare algebraische Zahl ist.
Beispiel 2:
$\cos\left( \frac{\pi}{64} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{128} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{2^7} \right)
=\frac12 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}.$
Somit kannst Du $
\cos\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
$ bzw. $
\sin\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
$ nur so stehen lassen oder eventuell als (beliebig genauen) Näherungswert angeben.
Quellen:
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Konstante_ausgedr%C3%BCckt_in_reellen_Radikalen
[3] https://de.sci.mathematik.narkive.com/YrNMo6cE/algebraische-funktionswerte-der-sinusfunktion
[4] https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=66727&post_id=493191
[5] https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=87405&start=0&lps=641432#v641432
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_values
[7] https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon
[8] https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl#Fermatsche_Primzahlen
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
