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  Kann man mit dem starken Gesetz der großen Zahlen P-Konvergenz zeigen? |
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lattemacchiato
Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-02-02
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Hey,
ich habe eine kurze Frage, auf die ich aufgrund unterer Aufgabe gekommen bin. In der Lösung dieser Aufgabe, wird ja eindeutig so vorgegangen, dass um P-Konvergenz zu zeigen das starke Gesetz der großen Zahlen angewendet wird.
Aber wieso zeigt dies die Frage. Impliziert f.s-Konvergenz stochastsiche Konvergenz? Falls nein würde das doch hier keinen Sinn man, oder? Generell verstehe ich leider nicht, weshalb hier von P-f.s- Konvergenz geredet wird. Kann man das Synonym für P-Konvergenz verwenden?
Aufgabe:Sei \( \left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) eine Folge unabhängig und identisch \( \operatorname{Bin}(1, p) \)-verteilter Zufallsvariablen. Ferner sei \( Z_{i}=1+X_{i} \).
Zeigen Sie: \( \left(\prod \limits_{i=1}^{n} Z_{i}\right)^{\frac{1}{n}} \) konvergiert \( \mathbb{P} \)-stochastisch gegen \( e^{p \cdot \log (2)} \).
Lösung: \( \log \left(\left(\prod \limits_{i=1}^{n} Z_{i}\right)^{1 / n}\right)=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} \log \left(Z_{i}\right) \rightarrow E\left(\log \left(Z_{1}\right)\right)=p \log (2) P- \) f.s. für \( n \rightarrow \infty \).
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
LG
lattemacchiato
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3710
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-25 11:39
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Huhu lattemacchiato,
leider verstehe ich Deine Frage nicht ganz (und vermutlich auch andere nicht, deshalb gab es lange keine Antwort...).
Vielleicht benötigst Du aber auch nur eine Bestätigung:
Ja, aus f.s.-Konvergenz folgt die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Neben vielen eher elementaren Beweisen (s. etwa hier) gibt es auch eine "stochastischere" Herangehensweise:
Satz: Liegen die Bilder eine Folge von Zufallsvariablen $(X_k)_{k\in\mathbb{N}}$ (auf einem Wahrscheinlichkeitsraum) in einem metrischen Raum $(M, m)$ so konvergiert $X_k \to X$ genau dann in Wahrscheinlichkeit, wenn jede Teilfolge $(X_j)_{j\in N \subset \mathbb{N}}$ wiederum eine Teilfolge $(X_i)_{i\in I \subset N}$ besitzt, so dass $X_i \to X$ f.s.
Beweis: Offensichtlich reicht es, die "Hinrichtung" zu zeigen. Konvergiere also $X_n \to X$ in Wahrscheinlichkeit und sei $N \subset \mathbb{N}$. Dann kann man aufgrund der stochastichen Konvergenz und der Tschebychev-Ungleichung $I \subset N$ so wählen, dass $A := \sum_{i \in I} \mathbb{E}[\mathrm{min}(1, m(X_i, X))] <\infty$. Mit dem Satz über monotone Konvergenz folgt dann weiter $A=\mathbb{E}[\sum_{i\in I} \mathrm{min}(m(X_i, X),1))]$. Diese Reihe konvergiert f.s. und somit bereits $X_i \to X$ f.s.
lg, AK
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