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 Eindeutigkeit beim kleinen Vereinigungsmengenaxiom von ZFC? |
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carlox
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Hallo allerseits,
mir ist nicht klar, warum beim kleinen Vereiniungsmengenaxiom von ZFC Eindeutigkeit sein soll.
Das kleine Vereiniungsmengenaxiom lautet (siehe Ebbinghaus "Einführung in die Mengenlehre" 4. Auflage S.32):
$\forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)$
Warum ist das y eindeutig?
Definiere dazu: \\
$\phi (a,b,y) \; :\leftrightarrow \; \forall z (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)$
Zeige dazu:
$\forall a \; \forall b \; \forall y \; \forall w \; (\phi (a,b,y) \land \phi (a,b,w) \; \rightarrow \; y=w)$
genügt also zu zeigen:
$\forall a \; \forall b \; \forall y \; \forall w \; ((\forall z \; (z \in a \lor z \in b) \; \rightarrow \; z \in y) \land (\forall z \; (z \in a \lor z \in b) \; \rightarrow \; z \in w) \; \rightarrow \; y=w)$
Wie kann man das zeigen?
Wenn zu zeigen wäre:
$\forall a \; \forall b \; \forall y \; \forall w \; ((\forall z \; (z \in a \lor z \in b) \; \leftrightarrow \; z \in y) \land (\forall z \; (z \in a \lor z \in b) \; \leftrightarrow \; z \in w) \; \rightarrow \; y=w)$
wäre mir der Beweis klar, aber so kann ich den Beweis nicht führen.
Wer kann mir da helfen?
mfg
cx
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tactac
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Da ist nichts eindeutig.
Das Axiom sagt nur, dass für alle $a,b$ eine Obermenge $y$ von $a \cup b$ existiert. Daraus kann man aber schließen, dass $a \cup b$ existiert für alle $a,b$ (etwa mithilfe des Aussonderungsaxioms; wenn $a \cup b \subseteq y$, dann ist $\{z \in y \mid z \in a \lor z \in b\}$ ja gerade $a \cup b$ ).
Also: Aus $\forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \to \; z \in y)$ folgt $\forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in y)$, aber nicht mit reiner Logik.\(\endgroup\)
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carlox
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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Hallo tactac
vielen Dank für deine Hilfe.
Du hast mit Mengen argumentiert.
Ich will aber noch etwas weiter in PL1 eintauchen.
Mir ist noch nicht die Argumentation auf Basis von PL1 klar:
Das kleine Vereiniungsmengenaxiom lautet (siehe Ebbinghaus "Einführung in die Mengenlehre" 4. Auflage S.32) in PL1:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)$
Mit dem Aussonderungsaxiom folgt:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \forall y \; \exists u \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))$
Wie soll daraus dann folgen:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in y)$
Mein Versuch:
Mit Hilfe von
$\vdash \exists y \; A \land \forall y \; B \rightarrow \exists y \; (A \land B)$ folgt dann:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \{\forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \exists u \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
also:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \{\forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
also:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \forall z \{(z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
und jetzt komme ich nicht mehr weiter...
Wer weiß Hilfe?
mfg
cx
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tactac
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-02-02 19:07 - carlox in Beitrag No. 2)
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \forall z \{(z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
und jetzt komme ich nicht mehr weiter...
Wer weiß Hilfe?
\quoteoff
Es geht jetzt einfach aussagenlogisch weiter.
Aus $\{(z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$ folgt $z \in u \leftrightarrow z \in a \lor z \in b$.
Mit Abkürzungen, zwecks weniger unnützen Gestrüpps: Aus
$(A \to Y) \land (U \leftrightarrow Y \land A)$ folgt $U \leftrightarrow A$.\(\endgroup\)
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carlox
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-04
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\quoteon(2023-02-02 22:12 - tactac in Beitrag No. 3)
Es geht jetzt einfach aussagenlogisch weiter.
\quoteoff
Aaaah, stimmt du hast Recht.
Ich war schon nahe dran.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Hier nochmals meine Behauptung mit Beweis:
Behauptung:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in y)$
Beweis:
Nach ($\cup$-Ax) folgt:\\
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)$\\
Mit dem Aussonderungsaxiom folgt:\\
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \forall y \; \exists u \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))$\\
Mit Hilfe von P-Korrolar 2
$\vdash \exists y \; A \land \forall y \; B \rightarrow \exists y \; (A \land B)$ folgt dann:\\
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \{\forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \exists u \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
also:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \{\forall z \; (z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; \forall z \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$
also:
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \forall z \{(z \in a \lor z \in b \; \rightarrow \; z \in y)
\land \; (z \in u \; \leftrightarrow \; z \in y \; \land (z \in a \lor z \in b))\}$\\
Mit Hilfe von $\vdash (A \rightarrow B) \; \land \; (A \land B \rightarrow C) \quad .\rightarrow. \quad A \leftrightarrow C$ $\quad$ folgt dann:\\
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists y \; \exists u \; \forall z (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in u)$ \\
Da $y \not\in (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in u)$ folgt:\\
$ZFC \vdash \forall a \; \forall b \; \exists u \; \forall z (z \in a \lor z \in b \; \leftrightarrow \; z \in u)$ \\
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