| Autor |
  Residuum (1-z^2)sin(1/z) im Punkt z=0 |
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TheBibiaon
Junior 
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2023-02-04
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Guten Abend miteinander
Ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter:
Sei
$$
f(z):= (1-z^2)\sin\left(\frac{1}{z}\right).
$$
Das Residuum im Punkt z=0 ist:
Die Lösung ist $\operatorname{Res}(f; 0) = \frac{7}{6}$.
Ich weiss leider nicht wie man drauf kommt. Könnte mir jemand weiterhelfen?
LG TheBibiaon
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo TheBibiaon,
schreib den Sinus als Beginn einer Potenzreihe, setze \( \frac{1}{z}\) ein, multipliziere mit \( 1-z^2\) und sieh nach, was dann für ein Koeffizent bei \( \frac{1}{z}\) steht.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo Wally
Vielen Dank für den Hinweis.
Ich habe nun folgendes gemacht:
Ich nutze die (mir) bekannte Reihenentwicklung für $sin(z)$:
$$ sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} +...
$$
Ersetzte in dieser Reihe $z$ durch $\frac{1}{z}$ um die Reihenentwicklung für $sin(\frac{1}{z})$ zu erhalten:
$$ sin(\frac{1}{z}) = \frac{1}{z} - \frac{1}{3!z^3} + \frac{1}{5!z^5} - \frac{1}{7!z^7} +...$$
Nun nutze ich deinen Hinweis und multipliziere die Reihe für $sin(\frac{1}{z})$ mit $(1-z^2)$.
Ich erhalte:
$$ \frac{(1-z^2)}{z} - \frac{(1-z^2)}{3!z^3} + \frac{(1-z^2)}{5!z^5} - \frac{(1-z^2)}{7!z^7} +...$$
Jetzt steht beim Koeffizient $\frac{1}{z}$: $\frac{(1-z^2)}{z}$, was jedoch nicht $\frac{7}{6}$ entspricht.
Irgendwas habe ich falsch gemacht, hast du einen weiteren Hinweis für mich?
LG Bibi
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 585
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi} \)
Huhu!
Man muß bei
\[
(1-z^2)\Bigl(\frac{1}{z} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z^3} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{z^5} \pm \cdots\Bigr)
\]
ausmultiplizieren und sortieren. Man bekommt dann bei $z^{-1}$ den Koeffizienten
\[
\operatorname{Res}(f;0) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}.
\]
Liebe Grüße.\(\endgroup\)
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo Mandelblüte
Vielen Dank fürs Erklären!
Nochmal zum Verständnis.
$$(1-z^2)(\frac{1}{z} - \frac{1}{3!z^3} + \frac{1}{5!z^5} - \frac{1}{7!z^7} +...) = $$
$$(1-z^2)\Bigl(\frac{1}{z} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z^3} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{z^5} \pm \cdots\Bigr) =$$
$$((\frac{1}{z}-z)-(\frac{1}{6}\frac{1}{z^3} + \frac{-z^2}{6}\frac{1}{z^3}) + ...) =$$
$$((\frac{1}{z}-z)-(\frac{1}{6}\frac{1}{z^3} + \frac{-z^2}{6}\frac{1}{z^3}) + ...) =$$
$$((\frac{1}{z}-z)-(\frac{1}{6z^3} - \frac{1}{6z}) + ...) =$$
Soweit richtig? Und wie kommst du jetzt auf 1 + $\frac{1}{6}$?
LG Bibi
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 585
Wohnort: Fuchsbau
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi} \)
Es ist doch
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{6z} = \Bigl(1 + \frac{1}{6}\Bigr)\cdot \frac{1}{z} = \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{z},
\]
und weitere Summanden mit $\tfrac{1}{z}$ gibt es nicht.\(\endgroup\)
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Klar, du hast recht!
Vielen Dank und Gruss
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