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| Autor |
 Borel-Cantelli-Lemma |
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lattemacchiato
Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-02-06
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Hey, ich sitze gerade an der unteren Aufgabe dran und versuche f.s.-Konvergenz mit dem Lemma von Borel Cantelli (BCL) zu widerlegen. Ich habe bis jetzt folgende Resultate, aber komme leider nicht auf die richtige Begründung zur Widerlegung der f.s.-Konvergenz , bzw. sehe nicht so ganz, wie das genau aus dem BCL folgt.
Ich habe die Begründung mit dem BCL ehrlich gesagt etwas "handwavy" einfach dazugeschrieben. Sind meine Berechnungen falsch und komme ich deshalb nicht auf den richtigen Zweig mit dem BCL, oder liegt es an meiner Anwendung des BCL?
$\underline{\text{Aufgabe:}}$ Sei \( \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit \( \mathbb{P}_{X_{n}}=\mathrm{G}\left(\frac{n}{n+1}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} \), das heißt, es gelte
\(
\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)=p_{n}\left(1-p_{n}\right)^{k}, \quad k \in \mathbb{N}_{0},
\)
wobei \( p_{n}=\frac{n}{n+1} \). Weiterhin sei \( X=\limsup _{n \rightarrow \infty} X_{n} \).
$\underline{\text{Zeigen Sie:}}\; $\(X_{n} \stackrel{\text { f.s. }}{\rightarrow} 0 \)
$\underline{\text{Meine Lösung:}} $ Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( A_{n}:=\left\{X_{n} \geq 1\right\} \). Dann gilt
\(
\sum \limits_{n=1}^{\infty} P\left(A_{n}\right)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} P\left(X_{n} > 0\right)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-P\left(X_{n}=0\right)\right)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{n}{n+1}\right)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}=\infty .
\)
Da die Reihe divergiert folgt mit dem Lemma von Borel Cantelli, dass \(X_{n} \stackrel{\text { f.s. }}{\rightarrow} 0 \), da .... (Hier weiß ich nicht mehr weiter)
Könntet ihr mir vielleicht helfen?
LG
lattemacchiato
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semasch
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-07
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Moin lattemacchiato,
\quoteon(2023-02-06 09:26 - lattemacchiato im Themenstart)
Da die Reihe divergiert folgt mit dem Lemma von Borel Cantelli, dass \(X_{n} \stackrel{\text { f.s. }}{\rightarrow} 0 \), da .... (Hier weiß ich nicht mehr weiter)
\quoteoff
Deine Folgerung, ebenso wie die deiner Angabe nach zu zeigende Aussage, stimmt nicht. Um das zu sehen, wende das zweite Borel-Cantelli-Lemma auf deine Ereignisfolge $(A_n)_n$ an.
LG,
semasch
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| lattemacchiato hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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