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| Autor |
 Legendre-DGL |
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herc_boops
Junior 
Dabei seit: 15.08.2022
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2023-02-08
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hallo Matroids!
Ich bin wieder da hahaha...Brauche wieder eure Hilfe...
Ich bin gerade bei Legendre Polynomen (bin weder physik noch mathe student) und verstehe nicht ganz wie man auf die Lösungen der Legendre DGl kommt. Die Rekursionsforml kann ivh aufstellen, aber wieso beachten wir bei geradem l nur x mit geradem exponenten und bei ungeradem l nur x mit ungeraden Exponenten?
Ausführung:
Wir nehmen ja an y(x) = $\sum a_n x^n$
Dann müssen wir eine Rekursionsformel für $a_n$ finden, soweit so gut:
$a_{n+2} = \frac{a_n(n-l)(n+k+1)}{(n+1)(n+2)}$
l ist dabei eine positive ganze Zahl, und steht beispielsweise für eine Quantenzahl.
Man kann nun die Koeffizienten in zwei Gruppen einteilen, einerseits die Koeffizienten mit geradem n und die Koeffizienten mit ungeradem n.
Wenn l gerade ist, dann werden alle $a_n$ mit geradem n und n>l = 0 und alle $a_n$ mit ungeradem n ungleich 0.
Wenn l ungerade ist, dann werden alle $a_n$ mit geradem n ungleich null und alle $a_n$ mit ungeraden n und n>l = 0.
Nun würde ich sagen, dass beispielsweise das Legendre Polynom für l = 2
aus der unendlichen Summe von $a_nx^n$ mit ungeradem n und $a_0 + a_2x^2$ ist.
Auf Wikipedia steht aber, dass $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$ ist. Ich habe verstanden, dass wir hier $a_0$ als bekannt voraussetzen, da sich dieses aus den Anfangsbedingungen ergibt, aber was ist mit allen a und x mit ungeradem n? Sind sie in dieser Formel nicht ausgelassen worden?
Allgemein, kommen auf Wikipedia bei den Legendre Polynomen mit ungeradem l immer nur x mit einem ungeradem Exponenten vor bzw. vice versa für gerade l. Lassen wir da nicht immer je eine unendliche Summe aus?
Ich hoffe ihr versteht was ich meine. Es kann sein, dass mir einfach die Grundlagen ein bisschen fehlen, daher bin ich sehr dankbar, wenn mich jemand auf meinen Fehler hinweisen könnte.
mfg,
HB
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4211
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-12
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Hallo herc_boops,
das folgt direkt aus der Rodrigues-Formel ( Ausarbeitung Legendrepolynome.pdf Seite 5 Grundsätzliche Eigenschaften): Das Polynom \((x^2-1)^\ell\) enthält ausmultipliziert für jedes \(\ell\) nur Potenzen von \(x\) mit geraden Exponenten. Nach der \(\ell\)-ten Ableitung enthält dann diese Polynom bei geraden \(\ell\) ebenfalls nur \(x\) mit geraden Exponenten und bei ungeraden \(\ell\) nur \(x\) mit ungeraden Exponenten.
Viele Grüße,
Stefan
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